Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27822 / 21366
↖ ↑ ↗
← N 52.942018°
W 27.169189°		 ← 368.07 m → N 52.942018°
W 27.163696°		 →
↑
368.12 m
↓
↑
368.12 m
↓
N 52.938707°
W 27.169189°		 ← 368.10 m →
135 500 m²		 N 52.938707°
W 27.163696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424537658691406 y=0.326026916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424537658691406 × 216)
    floor (0.424537658691406 × 65536)
    floor (27822.5)     		tx = 27822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326026916503906 × 216)
    floor (0.326026916503906 × 65536)
    floor (21366.5)     		ty = 21366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27822 / 21366 ti = "16/27822/21366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27822/21366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27822 ÷ 216
    27822 ÷ 65536     		x = 0.424530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21366 ÷ 216
    21366 ÷ 65536     		y = 0.326019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.15093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47419181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326019287109375 × 2 - 1) × π
    0.34796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09315305893576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47419181} λ = -0.47419181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09315305893576))-π/2
    2×atan(2.98366693434654)-π/2
    2×1.24740442482834-π/2
    2.49480884965669-1.57079632675     		φ = 0.92401252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47419181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.169189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92401252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.942018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27822 KachelY 21366 -0.47419181 0.92401252 -27.169189 52.942018
    Oben rechts KachelX + 1 27823 KachelY 21366 -0.47409594 0.92401252 -27.163696 52.942018
    Unten links KachelX 27822 KachelY + 1 21367 -0.47419181 0.92395474 -27.169189 52.938707
    Unten rechts KachelX + 1 27823 KachelY + 1 21367 -0.47409594 0.92395474 -27.163696 52.938707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92401252-0.92395474) × R
    5.77800000000073e-05 × 6371000     		dl = 368.116380000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92401252-0.92395474) × R
    5.77800000000073e-05 × 6371000     		dr = 368.116380000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47419181--0.47409594) × cos(0.92401252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602622920855718 × 6371000     		do = 368.074709980342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47419181--0.47409594) × cos(0.92395474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602669029796328 × 6371000     		du = 368.102872757355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92401252)-sin(0.92395474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602622920855718-0.602669029796328)×R²
    abs(-0.47409594--0.47419181)×4.6108940610412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6108940610412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6108940610412e-05×40589641000000     		ar = 135499.513435064m²