Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27821 / 21486
↖ ↑ ↗
← N 52.542955°
W 27.174682°		 ← 371.46 m → N 52.542955°
W 27.169189°		 →
↑
371.43 m
↓
↑
371.43 m
↓
N 52.539614°
W 27.174682°		 ← 371.49 m →
137 977 m²		 N 52.539614°
W 27.169189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424522399902344 y=0.327857971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424522399902344 × 216)
    floor (0.424522399902344 × 65536)
    floor (27821.5)     		tx = 27821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327857971191406 × 216)
    floor (0.327857971191406 × 65536)
    floor (21486.5)     		ty = 21486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27821 / 21486 ti = "16/27821/21486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27821/21486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27821 ÷ 216
    27821 ÷ 65536     		x = 0.424514770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21486 ÷ 216
    21486 ÷ 65536     		y = 0.327850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424514770507812 × 2 - 1) × π
    -0.150970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47428768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327850341796875 × 2 - 1) × π
    0.34429931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08164820302695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47428768} λ = -0.47428768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08164820302695))-π/2
    2×atan(2.94953698273214)-π/2
    2×1.24392194570629-π/2
    2.48784389141258-1.57079632675     		φ = 0.91704756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47428768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.174682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91704756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.542955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27821 KachelY 21486 -0.47428768 0.91704756 -27.174682 52.542955
    Oben rechts KachelX + 1 27822 KachelY 21486 -0.47419181 0.91704756 -27.169189 52.542955
    Unten links KachelX 27821 KachelY + 1 21487 -0.47428768 0.91698926 -27.174682 52.539614
    Unten rechts KachelX + 1 27822 KachelY + 1 21487 -0.47419181 0.91698926 -27.169189 52.539614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91704756-0.91698926) × R
    5.82999999999556e-05 × 6371000     		dl = 371.429299999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91704756-0.91698926) × R
    5.82999999999556e-05 × 6371000     		dr = 371.429299999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47428768--0.47419181) × cos(0.91704756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608166478842371 × 6371000     		do = 371.460647400876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47428768--0.47419181) × cos(0.91698926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60821275690308 × 6371000     		du = 371.488913474376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91704756)-sin(0.91698926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608166478842371-0.60821275690308)×R²
    abs(-0.47419181--0.47428768)×4.6278060708671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6278060708671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6278060708671e-05×40589641000000     		ar = 137976.617704557m²