Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27820 / 7725
↖ ↑ ↗
← N 79.642837°
W 27.180176°		 ← 109.82 m → N 79.642837°
W 27.174682°		 →
↑
109.77 m
↓
↑
109.77 m
↓
N 79.641850°
W 27.180176°		 ← 109.83 m →
12 056 m²		 N 79.641850°
W 27.174682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424507141113281 y=0.117881774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424507141113281 × 216)
    floor (0.424507141113281 × 65536)
    floor (27820.5)     		tx = 27820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117881774902344 × 216)
    floor (0.117881774902344 × 65536)
    floor (7725.5)     		ty = 7725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27820 / 7725 ti = "16/27820/7725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27820/7725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27820 ÷ 216
    27820 ÷ 65536     		x = 0.42449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7725 ÷ 216
    7725 ÷ 65536     		y = 0.117874145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47438356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117874145507812 × 2 - 1) × π
    0.764251708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40096755437013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47438356} λ = -0.47438356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40096755437013))-π/2
    2×atan(11.0338470645224)-π/2
    2×1.4804130304465-π/2
    2.960826060893-1.57079632675     		φ = 1.39002973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47438356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39002973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.642837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27820 KachelY 7725 -0.47438356 1.39002973 -27.180176 79.642837
    Oben rechts KachelX + 1 27821 KachelY 7725 -0.47428768 1.39002973 -27.174682 79.642837
    Unten links KachelX 27820 KachelY + 1 7726 -0.47438356 1.39001250 -27.180176 79.641850
    Unten rechts KachelX + 1 27821 KachelY + 1 7726 -0.47428768 1.39001250 -27.174682 79.641850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39002973-1.39001250) × R
    1.72299999998682e-05 × 6371000     		dl = 109.77232999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39002973-1.39001250) × R
    1.72299999998682e-05 × 6371000     		dr = 109.77232999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47438356--0.47428768) × cos(1.39002973) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.179783732168314 × 6371000     		do = 109.82115887493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47438356--0.47428768) × cos(1.39001250) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.179800681398767 × 6371000     		du = 109.831512337437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39002973)-sin(1.39001250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179783732168314-0.179800681398767)×R²
    abs(-0.47428768--0.47438356)×1.69492304531171e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.69492304531171e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.69492304531171e-05×40589641000000     		ar = 12055.8927547446m²