Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27818 / 8680
↖ ↑ ↗
← N 78.655967°
W 27.191162°		 ← 120.15 m → N 78.655967°
W 27.185669°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
N 78.654886°
W 27.191162°		 ← 120.17 m →
14 438 m²		 N 78.654886°
W 27.185669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424476623535156 y=0.132453918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424476623535156 × 216)
    floor (0.424476623535156 × 65536)
    floor (27818.5)     		tx = 27818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132453918457031 × 216)
    floor (0.132453918457031 × 65536)
    floor (8680.5)     		ty = 8680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27818 / 8680 ti = "16/27818/8680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27818/8680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27818 ÷ 216
    27818 ÷ 65536     		x = 0.424468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8680 ÷ 216
    8680 ÷ 65536     		y = 0.1324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.15106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47457531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1324462890625 × 2 - 1) × π
    0.735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30940807609583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47457531} λ = -0.47457531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30940807609583))-π/2
    2×atan(10.0684631267991)-π/2
    2×1.47180096303577-π/2
    2.94360192607154-1.57079632675     		φ = 1.37280560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47457531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.191162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37280560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.655967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27818 KachelY 8680 -0.47457531 1.37280560 -27.191162 78.655967
    Oben rechts KachelX + 1 27819 KachelY 8680 -0.47447943 1.37280560 -27.185669 78.655967
    Unten links KachelX 27818 KachelY + 1 8681 -0.47457531 1.37278674 -27.191162 78.654886
    Unten rechts KachelX + 1 27819 KachelY + 1 8681 -0.47447943 1.37278674 -27.185669 78.654886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37280560-1.37278674) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37280560-1.37278674) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47457531--0.47447943) × cos(1.37280560) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.196699709574332 × 6371000     		do = 120.154308709042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47457531--0.47447943) × cos(1.37278674) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.196718201086242 × 6371000     		du = 120.165604276459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37280560)-sin(1.37278674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196699709574332-0.196718201086242)×R²
    abs(-0.47447943--0.47457531)×1.8491511910107e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.8491511910107e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.8491511910107e-05×40589641000000     		ar = 14438.0671021709m²