Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27818 / 21390
↖ ↑ ↗
← N 52.862497°
W 27.191162°		 ← 368.79 m → N 52.862497°
W 27.185669°		 →
↑
368.75 m
↓
↑
368.75 m
↓
N 52.859181°
W 27.191162°		 ← 368.82 m →
135 998 m²		 N 52.859181°
W 27.185669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424476623535156 y=0.326393127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424476623535156 × 216)
    floor (0.424476623535156 × 65536)
    floor (27818.5)     		tx = 27818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326393127441406 × 216)
    floor (0.326393127441406 × 65536)
    floor (21390.5)     		ty = 21390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27818 / 21390 ti = "16/27818/21390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27818/21390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27818 ÷ 216
    27818 ÷ 65536     		x = 0.424468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21390 ÷ 216
    21390 ÷ 65536     		y = 0.326385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.15106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47457531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326385498046875 × 2 - 1) × π
    0.34722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.090852087754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47457531} λ = -0.47457531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.090852087754))-π/2
    2×atan(2.97680949512518)-π/2
    2×1.24671047913757-π/2
    2.49342095827514-1.57079632675     		φ = 0.92262463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47457531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.191162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92262463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.862497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27818 KachelY 21390 -0.47457531 0.92262463 -27.191162 52.862497
    Oben rechts KachelX + 1 27819 KachelY 21390 -0.47447943 0.92262463 -27.185669 52.862497
    Unten links KachelX 27818 KachelY + 1 21391 -0.47457531 0.92256675 -27.191162 52.859181
    Unten rechts KachelX + 1 27819 KachelY + 1 21391 -0.47447943 0.92256675 -27.185669 52.859181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92262463-0.92256675) × R
    5.78799999999546e-05 × 6371000     		dl = 368.753479999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92262463-0.92256675) × R
    5.78799999999546e-05 × 6371000     		dr = 368.753479999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47457531--0.47447943) × cos(0.92262463) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.603729912510712 × 6371000     		do = 368.789310577411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47457531--0.47447943) × cos(0.92256675) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.603776052794774 × 6371000     		du = 368.817495438217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92262463)-sin(0.92256675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603729912510712-0.603776052794774)×R²
    abs(-0.47447943--0.47457531)×4.61402840618019e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61402840618019e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61402840618019e-05×40589641000000     		ar = 135997.538332908m²