Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27817 / 7760
↖ ↑ ↗
← N 79.608215°
W 27.196655°		 ← 110.17 m → N 79.608215°
W 27.191162°		 →
↑
110.22 m
↓
↑
110.22 m
↓
N 79.607224°
W 27.196655°		 ← 110.18 m →
12 144 m²		 N 79.607224°
W 27.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424461364746094 y=0.118415832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424461364746094 × 216)
    floor (0.424461364746094 × 65536)
    floor (27817.5)     		tx = 27817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118415832519531 × 216)
    floor (0.118415832519531 × 65536)
    floor (7760.5)     		ty = 7760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27817 / 7760 ti = "16/27817/7760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27817/7760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27817 ÷ 216
    27817 ÷ 65536     		x = 0.424453735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7760 ÷ 216
    7760 ÷ 65536     		y = 0.118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424453735351562 × 2 - 1) × π
    -0.151092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47467118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118408203125 × 2 - 1) × π
    0.76318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39761197139673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47467118} λ = -0.47467118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39761197139673))-π/2
    2×atan(10.9968841259685)-π/2
    2×1.48011089246588-π/2
    2.96022178493177-1.57079632675     		φ = 1.38942546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47467118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.196655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38942546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.608215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27817 KachelY 7760 -0.47467118 1.38942546 -27.196655 79.608215
    Oben rechts KachelX + 1 27818 KachelY 7760 -0.47457531 1.38942546 -27.191162 79.608215
    Unten links KachelX 27817 KachelY + 1 7761 -0.47467118 1.38940816 -27.196655 79.607224
    Unten rechts KachelX + 1 27818 KachelY + 1 7761 -0.47457531 1.38940816 -27.191162 79.607224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38942546-1.38940816) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dl = 110.218300000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38942546-1.38940816) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dr = 110.218300000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47467118--0.47457531) × cos(1.38942546) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.180378123430257 × 6371000     		do = 110.172751766813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47467118--0.47457531) × cos(1.38940816) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.180395139637292 × 6371000     		du = 110.183145057962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38942546)-sin(1.38940816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180378123430257-0.180395139637292)×R²
    abs(-0.47457531--0.47467118)×1.70162070354807e-05×R²
    9.58700000000534e-05×1.70162070354807e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×1.70162070354807e-05×40589641000000     		ar = 12143.6261719714m²