Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27817 / 7712
↖ ↑ ↗
← N 79.655668°
W 27.196655°		 ← 109.68 m → N 79.655668°
W 27.191162°		 →
↑
109.64 m
↓
↑
109.64 m
↓
N 79.654682°
W 27.196655°		 ← 109.69 m →
12 026 m²		 N 79.654682°
W 27.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424461364746094 y=0.117683410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424461364746094 × 216)
    floor (0.424461364746094 × 65536)
    floor (27817.5)     		tx = 27817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117683410644531 × 216)
    floor (0.117683410644531 × 65536)
    floor (7712.5)     		ty = 7712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27817 / 7712 ti = "16/27817/7712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27817/7712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27817 ÷ 216
    27817 ÷ 65536     		x = 0.424453735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7712 ÷ 216
    7712 ÷ 65536     		y = 0.11767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424453735351562 × 2 - 1) × π
    -0.151092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47467118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11767578125 × 2 - 1) × π
    0.7646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40221391376025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47467118} λ = -0.47467118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40221391376025))-π/2
    2×atan(11.0476077770357)-π/2
    2×1.48052499936059-π/2
    2.96104999872118-1.57079632675     		φ = 1.39025367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47467118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.196655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39025367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.655668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27817 KachelY 7712 -0.47467118 1.39025367 -27.196655 79.655668
    Oben rechts KachelX + 1 27818 KachelY 7712 -0.47457531 1.39025367 -27.191162 79.655668
    Unten links KachelX 27817 KachelY + 1 7713 -0.47467118 1.39023646 -27.196655 79.654682
    Unten rechts KachelX + 1 27818 KachelY + 1 7713 -0.47457531 1.39023646 -27.191162 79.654682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39025367-1.39023646) × R
    1.72100000002118e-05 × 6371000     		dl = 109.644910001349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39025367-1.39023646) × R
    1.72100000002118e-05 × 6371000     		dr = 109.644910001349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47467118--0.47457531) × cos(1.39025367) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.179563436504638 × 6371000     		do = 109.675150956265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47467118--0.47457531) × cos(1.39023646) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.179580366753526 × 6371000     		du = 109.685491745229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39025367)-sin(1.39023646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179563436504638-0.179580366753526)×R²
    abs(-0.47457531--0.47467118)×1.69302488881029e-05×R²
    9.58700000000534e-05×1.69302488881029e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×1.69302488881029e-05×40589641000000     		ar = 12025.8889634334m²