Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27817 / 7417
↖ ↑ ↗
← N 79.942635°
W 27.196655°		 ← 106.66 m → N 79.942635°
W 27.191162°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
N 79.941676°
W 27.196655°		 ← 106.67 m →
11 376 m²		 N 79.941676°
W 27.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424461364746094 y=0.113182067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424461364746094 × 216)
    floor (0.424461364746094 × 65536)
    floor (27817.5)     		tx = 27817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113182067871094 × 216)
    floor (0.113182067871094 × 65536)
    floor (7417.5)     		ty = 7417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27817 / 7417 ti = "16/27817/7417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27817/7417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27817 ÷ 216
    27817 ÷ 65536     		x = 0.424453735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7417 ÷ 216
    7417 ÷ 65536     		y = 0.113174438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424453735351562 × 2 - 1) × π
    -0.151092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47467118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113174438476562 × 2 - 1) × π
    0.773651123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43049668453609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47467118} λ = -0.47467118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43049668453609))-π/2
    2×atan(11.3645252624025)-π/2
    2×1.48302926467234-π/2
    2.96605852934467-1.57079632675     		φ = 1.39526220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47467118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.196655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39526220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.942635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27817 KachelY 7417 -0.47467118 1.39526220 -27.196655 79.942635
    Oben rechts KachelX + 1 27818 KachelY 7417 -0.47457531 1.39526220 -27.191162 79.942635
    Unten links KachelX 27817 KachelY + 1 7418 -0.47467118 1.39524546 -27.196655 79.941676
    Unten rechts KachelX + 1 27818 KachelY + 1 7418 -0.47457531 1.39524546 -27.191162 79.941676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39526220-1.39524546) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39526220-1.39524546) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47467118--0.47457531) × cos(1.39526220) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.174634081562882 × 6371000     		do = 106.664361243851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47467118--0.47457531) × cos(1.39524546) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.174650564301573 × 6371000     		du = 106.674428699059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39526220)-sin(1.39524546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174634081562882-0.174650564301573)×R²
    abs(-0.47457531--0.47467118)×1.64827386904265e-05×R²
    9.58700000000534e-05×1.64827386904265e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×1.64827386904265e-05×40589641000000     		ar = 11376.3485755704m²