Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27817 / 21371
↖ ↑ ↗
← N 52.925463°
W 27.196655°		 ← 368.22 m → N 52.925463°
W 27.191162°		 →
↑
368.24 m
↓
↑
368.24 m
↓
N 52.922151°
W 27.196655°		 ← 368.24 m →
135 598 m²		 N 52.922151°
W 27.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424461364746094 y=0.326103210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424461364746094 × 216)
    floor (0.424461364746094 × 65536)
    floor (27817.5)     		tx = 27817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326103210449219 × 216)
    floor (0.326103210449219 × 65536)
    floor (21371.5)     		ty = 21371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27817 / 21371 ti = "16/27817/21371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27817/21371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27817 ÷ 216
    27817 ÷ 65536     		x = 0.424453735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21371 ÷ 216
    21371 ÷ 65536     		y = 0.326095581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424453735351562 × 2 - 1) × π
    -0.151092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47467118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326095581054688 × 2 - 1) × π
    0.347808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09267368993956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47467118} λ = -0.47467118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09267368993956))-π/2
    2×atan(2.98223699968378)-π/2
    2×1.24725995782748-π/2
    2.49451991565497-1.57079632675     		φ = 0.92372359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47467118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.196655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92372359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.925463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27817 KachelY 21371 -0.47467118 0.92372359 -27.196655 52.925463
    Oben rechts KachelX + 1 27818 KachelY 21371 -0.47457531 0.92372359 -27.191162 52.925463
    Unten links KachelX 27817 KachelY + 1 21372 -0.47467118 0.92366579 -27.196655 52.922151
    Unten rechts KachelX + 1 27818 KachelY + 1 21372 -0.47457531 0.92366579 -27.191162 52.922151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92372359-0.92366579) × R
    5.77999999999967e-05 × 6371000     		dl = 368.243799999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92372359-0.92366579) × R
    5.77999999999967e-05 × 6371000     		dr = 368.243799999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47467118--0.47457531) × cos(0.92372359) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.602853469372512 × 6371000     		do = 368.215526195005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47467118--0.47457531) × cos(0.92366579) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.602899584206741 × 6371000     		du = 368.243692571768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92372359)-sin(0.92366579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602853469372512-0.602899584206741)×R²
    abs(-0.47457531--0.47467118)×4.61148342294493e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.61148342294493e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.61148342294493e-05×40589641000000     		ar = 135598.2706695m²