Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27816 / 7415
↖ ↑ ↗
← N 79.944554°
W 27.202148°		 ← 106.64 m → N 79.944554°
W 27.196655°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 79.943595°
W 27.202148°		 ← 106.65 m →
11 381 m²		 N 79.943595°
W 27.196655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424446105957031 y=0.113151550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424446105957031 × 216)
    floor (0.424446105957031 × 65536)
    floor (27816.5)     		tx = 27816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113151550292969 × 216)
    floor (0.113151550292969 × 65536)
    floor (7415.5)     		ty = 7415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27816 / 7415 ti = "16/27816/7415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27816/7415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27816 ÷ 216
    27816 ÷ 65536     		x = 0.4244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7415 ÷ 216
    7415 ÷ 65536     		y = 0.113143920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47476705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113143920898438 × 2 - 1) × π
    0.773712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43068843213457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47476705} λ = -0.47476705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43068843213457))-π/2
    2×atan(11.3667045917634)-π/2
    2×1.48304600592454-π/2
    2.96609201184907-1.57079632675     		φ = 1.39529569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47476705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.202148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39529569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.944554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27816 KachelY 7415 -0.47476705 1.39529569 -27.202148 79.944554
    Oben rechts KachelX + 1 27817 KachelY 7415 -0.47467118 1.39529569 -27.196655 79.944554
    Unten links KachelX 27816 KachelY + 1 7416 -0.47476705 1.39527894 -27.202148 79.943595
    Unten rechts KachelX + 1 27817 KachelY + 1 7416 -0.47467118 1.39527894 -27.196655 79.943595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39529569-1.39527894) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39529569-1.39527894) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47476705--0.47467118) × cos(1.39529569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174601106092302 × 6371000     		do = 106.644220229648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47476705--0.47467118) × cos(1.39527894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174617598775255 × 6371000     		du = 106.65429375869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39529569)-sin(1.39527894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174601106092302-0.174617598775255)×R²
    abs(-0.47467118--0.47476705)×1.64926829528123e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64926829528123e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64926829528123e-05×40589641000000     		ar = 11380.9954733492m²