Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27816 / 21480
↖ ↑ ↗
← N 52.562995°
W 27.202148°		 ← 371.29 m → N 52.562995°
W 27.196655°		 →
↑
371.30 m
↓
↑
371.30 m
↓
N 52.559656°
W 27.202148°		 ← 371.32 m →
137 866 m²		 N 52.559656°
W 27.196655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424446105957031 y=0.327766418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424446105957031 × 216)
    floor (0.424446105957031 × 65536)
    floor (27816.5)     		tx = 27816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327766418457031 × 216)
    floor (0.327766418457031 × 65536)
    floor (21480.5)     		ty = 21480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27816 / 21480 ti = "16/27816/21480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27816/21480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27816 ÷ 216
    27816 ÷ 65536     		x = 0.4244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21480 ÷ 216
    21480 ÷ 65536     		y = 0.3277587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47476705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3277587890625 × 2 - 1) × π
    0.344482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08222344582239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47476705} λ = -0.47476705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08222344582239))-π/2
    2×atan(2.95123417073212)-π/2
    2×1.24409682746291-π/2
    2.48819365492583-1.57079632675     		φ = 0.91739733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47476705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.202148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91739733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.562995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27816 KachelY 21480 -0.47476705 0.91739733 -27.202148 52.562995
    Oben rechts KachelX + 1 27817 KachelY 21480 -0.47467118 0.91739733 -27.196655 52.562995
    Unten links KachelX 27816 KachelY + 1 21481 -0.47476705 0.91733905 -27.202148 52.559656
    Unten rechts KachelX + 1 27817 KachelY + 1 21481 -0.47467118 0.91733905 -27.196655 52.559656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91739733-0.91733905) × R
    5.82799999999661e-05 × 6371000     		dl = 371.301879999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91739733-0.91733905) × R
    5.82799999999661e-05 × 6371000     		dr = 371.301879999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47476705--0.47467118) × cos(0.91739733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60788879089538 × 6371000     		do = 371.291038998977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47476705--0.47467118) × cos(0.91733905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607935065475477 × 6371000     		du = 371.319302946562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91739733)-sin(0.91733905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60788879089538-0.607935065475477)×R²
    abs(-0.47467118--0.47476705)×4.62745800967612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62745800967612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62745800967612e-05×40589641000000     		ar = 137866.308074958m²