Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27815 / 7761
↖ ↑ ↗
← N 79.607224°
W 27.207642°		 ← 110.19 m → N 79.607224°
W 27.202148°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
N 79.606233°
W 27.207642°		 ← 110.21 m →
12 139 m²		 N 79.606233°
W 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424430847167969 y=0.118431091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424430847167969 × 216)
    floor (0.424430847167969 × 65536)
    floor (27815.5)     		tx = 27815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118431091308594 × 216)
    floor (0.118431091308594 × 65536)
    floor (7761.5)     		ty = 7761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27815 / 7761 ti = "16/27815/7761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27815/7761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27815 ÷ 216
    27815 ÷ 65536     		x = 0.424423217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7761 ÷ 216
    7761 ÷ 65536     		y = 0.118423461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424423217773438 × 2 - 1) × π
    -0.151153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47486293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118423461914062 × 2 - 1) × π
    0.763153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39751609759749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47486293} λ = -0.47486293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39751609759749))-π/2
    2×atan(10.9958298634464)-π/2
    2×1.48010224529009-π/2
    2.96020449058017-1.57079632675     		φ = 1.38940816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47486293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.207642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38940816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.607224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27815 KachelY 7761 -0.47486293 1.38940816 -27.207642 79.607224
    Oben rechts KachelX + 1 27816 KachelY 7761 -0.47476705 1.38940816 -27.202148 79.607224
    Unten links KachelX 27815 KachelY + 1 7762 -0.47486293 1.38939087 -27.207642 79.606233
    Unten rechts KachelX + 1 27816 KachelY + 1 7762 -0.47476705 1.38939087 -27.202148 79.606233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38940816-1.38939087) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38940816-1.38939087) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47486293--0.47476705) × cos(1.38940816) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.180395139637292 × 6371000     		do = 110.194638032238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47486293--0.47476705) × cos(1.38939087) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.180412145954426 × 6371000     		du = 110.205026366229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38940816)-sin(1.38939087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180395139637292-0.180412145954426)×R²
    abs(-0.47476705--0.47486293)×1.7006317133833e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.7006317133833e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.7006317133833e-05×40589641000000     		ar = 12139.017334169m²