Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27813 / 21963
↖ ↑ ↗
← N 75.880723°
W103.609314°		 ← 74.49 m → N 75.880723°
W103.606568°		 →
↑
74.54 m
↓
↑
74.54 m
↓
N 75.880052°
W103.609314°		 ← 74.49 m →
5 553 m²		 N 75.880052°
W103.606568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212200164794922 y=0.167568206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212200164794922 × 217)
    floor (0.212200164794922 × 131072)
    floor (27813.5)     		tx = 27813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167568206787109 × 217)
    floor (0.167568206787109 × 131072)
    floor (21963.5)     		ty = 21963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27813 / 21963 ti = "17/27813/21963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27813/21963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27813 ÷ 217
    27813 ÷ 131072     		x = 0.212196350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21963 ÷ 217
    21963 ÷ 131072     		y = 0.167564392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212196350097656 × 2 - 1) × π
    -0.575607299804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.80832366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167564392089844 × 2 - 1) × π
    0.664871215820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.08875452714471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80832366} λ = -1.80832366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08875452714471))-π/2
    2×atan(8.07485188999891)-π/2
    2×1.4475823872714-π/2
    2.8951647745428-1.57079632675     		φ = 1.32436845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80832366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.609314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32436845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.880723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27813 KachelY 21963 -1.80832366 1.32436845 -103.609314 75.880723
    Oben rechts KachelX + 1 27814 KachelY 21963 -1.80827573 1.32436845 -103.606568 75.880723
    Unten links KachelX 27813 KachelY + 1 21964 -1.80832366 1.32435675 -103.609314 75.880052
    Unten rechts KachelX + 1 27814 KachelY + 1 21964 -1.80827573 1.32435675 -103.606568 75.880052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32436845-1.32435675) × R
    1.16999999999479e-05 × 6371000     		dl = 74.5406999996678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32436845-1.32435675) × R
    1.16999999999479e-05 × 6371000     		dr = 74.5406999996678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80832366--1.80827573) × cos(1.32436845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.243941313626279 × 6371000     		do = 74.4904147298329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80832366--1.80827573) × cos(1.32435675) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.243952660152531 × 6371000     		du = 74.4938795281225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32436845)-sin(1.32435675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243941313626279-0.243952660152531)×R²
    abs(-1.80827573--1.80832366)×1.1346526251288e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1346526251288e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1346526251288e-05×40589641000000     		ar = 5552.69679159921m²