Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 27809 / 19425
↖ ↑ ↗
← N 77.484493°
W103.620300°		 ← 66.17 m → N 77.484493°
W103.617554°		 →
↑
66.19 m
↓
↑
66.19 m
↓
N 77.483898°
W103.620300°		 ← 66.18 m →
4 380 m²		 N 77.483898°
W103.617554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212169647216797 y=0.148204803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212169647216797 × 217)
    floor (0.212169647216797 × 131072)
    floor (27809.5)     		tx = 27809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148204803466797 × 217)
    floor (0.148204803466797 × 131072)
    floor (19425.5)     		ty = 19425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27809 / 19425 ti = "17/27809/19425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27809/19425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27809 ÷ 217
    27809 ÷ 131072     		x = 0.212165832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19425 ÷ 217
    19425 ÷ 131072     		y = 0.148200988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212165832519531 × 2 - 1) × π
    -0.575668334960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.80851541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148200988769531 × 2 - 1) × π
    0.703598022460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21041837838041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80851541} λ = -1.80851541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21041837838041))-π/2
    2×atan(9.11953100962201)-π/2
    2×1.46157792363092-π/2
    2.92315584726184-1.57079632675     		φ = 1.35235952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80851541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.620300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35235952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.484493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27809 KachelY 19425 -1.80851541 1.35235952 -103.620300 77.484493
    Oben rechts KachelX + 1 27810 KachelY 19425 -1.80846748 1.35235952 -103.617554 77.484493
    Unten links KachelX 27809 KachelY + 1 19426 -1.80851541 1.35234913 -103.620300 77.483898
    Unten rechts KachelX + 1 27810 KachelY + 1 19426 -1.80846748 1.35234913 -103.617554 77.483898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35235952-1.35234913) × R
    1.03900000001378e-05 × 6371000     		dl = 66.1946900008779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35235952-1.35234913) × R
    1.03900000001378e-05 × 6371000     		dr = 66.1946900008779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80851541--1.80846748) × cos(1.35235952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21670384081053 × 6371000     		do = 66.1731247387409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80851541--1.80846748) × cos(1.35234913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216713983905335 × 6371000     		du = 66.176222054761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35235952)-sin(1.35234913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21670384081053-0.216713983905335)×R²
    abs(-1.80846748--1.80851541)×1.0143094805154e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0143094805154e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0143094805154e-05×40589641000000     		ar = 4380.41199137583m²