Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27807 / 6451
↖ ↑ ↗
← N 80.828280°
W 27.251587°		 ← 97.37 m → N 80.828280°
W 27.246094°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
N 80.827405°
W 27.251587°		 ← 97.38 m →
9 479 m²		 N 80.827405°
W 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424308776855469 y=0.0984420776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424308776855469 × 216)
    floor (0.424308776855469 × 65536)
    floor (27807.5)     		tx = 27807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984420776367188 × 216)
    floor (0.0984420776367188 × 65536)
    floor (6451.5)     		ty = 6451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27807 / 6451 ti = "16/27807/6451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27807/6451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27807 ÷ 216
    27807 ÷ 65536     		x = 0.424301147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6451 ÷ 216
    6451 ÷ 65536     		y = 0.0984344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424301147460938 × 2 - 1) × π
    -0.151397705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47562992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0984344482421875 × 2 - 1) × π
    0.803131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52311077460204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47562992} λ = -0.47562992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52311077460204))-π/2
    2×atan(12.4673194240811)-π/2
    2×1.49075797418394-π/2
    2.98151594836787-1.57079632675     		φ = 1.41071962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47562992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.251587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41071962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.828280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27807 KachelY 6451 -0.47562992 1.41071962 -27.251587 80.828280
    Oben rechts KachelX + 1 27808 KachelY 6451 -0.47553404 1.41071962 -27.246094 80.828280
    Unten links KachelX 27807 KachelY + 1 6452 -0.47562992 1.41070434 -27.251587 80.827405
    Unten rechts KachelX + 1 27808 KachelY + 1 6452 -0.47553404 1.41070434 -27.246094 80.827405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41071962-1.41070434) × R
    1.52800000001729e-05 × 6371000     		dl = 97.3488800011018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41071962-1.41070434) × R
    1.52800000001729e-05 × 6371000     		dr = 97.3488800011018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47562992--0.47553404) × cos(1.41071962) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.159393933186205 × 6371000     		do = 97.366019989807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47562992--0.47553404) × cos(1.41070434) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.159409017813709 × 6371000     		du = 97.3752344568431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41071962)-sin(1.41070434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159393933186205-0.159409017813709)×R²
    abs(-0.47553404--0.47562992)×1.50846275040195e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.50846275040195e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.50846275040195e-05×40589641000000     		ar = 9478.92150539531m²