Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 27806 / 21946
↖ ↑ ↗
← N 75.892108°
W103.628540°		 ← 74.43 m → N 75.892108°
W103.625794°		 →
↑
74.41 m
↓
↑
74.41 m
↓
N 75.891439°
W103.628540°		 ← 74.44 m →
5 539 m²		 N 75.891439°
W103.625794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212146759033203 y=0.167438507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212146759033203 × 217)
    floor (0.212146759033203 × 131072)
    floor (27806.5)     		tx = 27806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167438507080078 × 217)
    floor (0.167438507080078 × 131072)
    floor (21946.5)     		ty = 21946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27806 / 21946 ti = "17/27806/21946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27806/21946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27806 ÷ 217
    27806 ÷ 131072     		x = 0.212142944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21946 ÷ 217
    21946 ÷ 131072     		y = 0.167434692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212142944335938 × 2 - 1) × π
    -0.575714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80865922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167434692382812 × 2 - 1) × π
    0.665130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08956945443825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80865922} λ = -1.80865922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08956945443825))-π/2
    2×atan(8.08143498920466)-π/2
    2×1.44768174522201-π/2
    2.89536349044401-1.57079632675     		φ = 1.32456716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80865922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.628540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32456716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.892108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27806 KachelY 21946 -1.80865922 1.32456716 -103.628540 75.892108
    Oben rechts KachelX + 1 27807 KachelY 21946 -1.80861129 1.32456716 -103.625794 75.892108
    Unten links KachelX 27806 KachelY + 1 21947 -1.80865922 1.32455548 -103.628540 75.891439
    Unten rechts KachelX + 1 27807 KachelY + 1 21947 -1.80861129 1.32455548 -103.625794 75.891439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32456716-1.32455548) × R
    1.16800000000694e-05 × 6371000     		dl = 74.4132800004422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32456716-1.32455548) × R
    1.16800000000694e-05 × 6371000     		dr = 74.4132800004422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80865922--1.80861129) × cos(1.32456716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.243748601841436 × 6371000     		do = 74.4315678680081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80865922--1.80861129) × cos(1.32455548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.243759929537905 × 6371000     		du = 74.4350269163972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32456716)-sin(1.32455548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243748601841436-0.243759929537905)×R²
    abs(-1.80861129--1.80865922)×1.13276964694431e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13276964694431e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13276964694431e-05×40589641000000     		ar = 5538.82580033425m²