Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27804 / 8636
↖ ↑ ↗
← N 78.703411°
W 27.268066°		 ← 119.65 m → N 78.703411°
W 27.262573°		 →
↑
119.65 m
↓
↑
119.65 m
↓
N 78.702335°
W 27.268066°		 ← 119.66 m →
14 316 m²		 N 78.702335°
W 27.262573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424263000488281 y=0.131782531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424263000488281 × 216)
    floor (0.424263000488281 × 65536)
    floor (27804.5)     		tx = 27804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131782531738281 × 216)
    floor (0.131782531738281 × 65536)
    floor (8636.5)     		ty = 8636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27804 / 8636 ti = "16/27804/8636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27804/8636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27804 ÷ 216
    27804 ÷ 65536     		x = 0.42425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8636 ÷ 216
    8636 ÷ 65536     		y = 0.13177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.1514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47591754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13177490234375 × 2 - 1) × π
    0.7364501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31362652326239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47591754} λ = -0.47591754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31362652326239))-π/2
    2×atan(10.111026118295)-π/2
    2×1.47221498985121-π/2
    2.94442997970243-1.57079632675     		φ = 1.37363365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47591754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.268066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37363365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.703411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27804 KachelY 8636 -0.47591754 1.37363365 -27.268066 78.703411
    Oben rechts KachelX + 1 27805 KachelY 8636 -0.47582167 1.37363365 -27.262573 78.703411
    Unten links KachelX 27804 KachelY + 1 8637 -0.47591754 1.37361487 -27.268066 78.702335
    Unten rechts KachelX + 1 27805 KachelY + 1 8637 -0.47582167 1.37361487 -27.262573 78.702335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37363365-1.37361487) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dl = 119.647379999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37363365-1.37361487) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dr = 119.647379999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47591754--0.47582167) × cos(1.37363365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195887769198703 × 6371000     		do = 119.645853719148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47591754--0.47582167) × cos(1.37361487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195906185326471 × 6371000     		du = 119.657102064759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37363365)-sin(1.37361487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195887769198703-0.195906185326471)×R²
    abs(-0.47582167--0.47591754)×1.84161277678452e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84161277678452e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84161277678452e-05×40589641000000     		ar = 14315.9858434044m²