Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27804 / 6470
↖ ↑ ↗
← N 80.811630°
W 27.268066°		 ← 97.53 m → N 80.811630°
W 27.262573°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 80.810752°
W 27.268066°		 ← 97.54 m →
9 514 m²		 N 80.810752°
W 27.262573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424263000488281 y=0.0987319946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424263000488281 × 216)
    floor (0.424263000488281 × 65536)
    floor (27804.5)     		tx = 27804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987319946289062 × 216)
    floor (0.0987319946289062 × 65536)
    floor (6470.5)     		ty = 6470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27804 / 6470 ti = "16/27804/6470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27804/6470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27804 ÷ 216
    27804 ÷ 65536     		x = 0.42425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6470 ÷ 216
    6470 ÷ 65536     		y = 0.098724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.1514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47591754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098724365234375 × 2 - 1) × π
    0.80255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52128917241647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47591754} λ = -0.47591754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52128917241647))-π/2
    2×atan(12.4446295999609)-π/2
    2×1.49061266740448-π/2
    2.98122533480896-1.57079632675     		φ = 1.41042901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47591754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.268066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41042901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.811630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27804 KachelY 6470 -0.47591754 1.41042901 -27.268066 80.811630
    Oben rechts KachelX + 1 27805 KachelY 6470 -0.47582167 1.41042901 -27.262573 80.811630
    Unten links KachelX 27804 KachelY + 1 6471 -0.47591754 1.41041370 -27.268066 80.810752
    Unten rechts KachelX + 1 27805 KachelY + 1 6471 -0.47582167 1.41041370 -27.262573 80.810752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41042901-1.41041370) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41042901-1.41041370) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47591754--0.47582167) × cos(1.41042901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15968082101992 × 6371000     		do = 97.5310925825238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47591754--0.47582167) × cos(1.41041370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159695934553949 × 6371000     		du = 97.5403237442702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41042901)-sin(1.41041370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15968082101992-0.159695934553949)×R²
    abs(-0.47582167--0.47591754)×1.51135340289155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51135340289155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51135340289155e-05×40589641000000     		ar = 9513.63394983472m²