Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27803 / 21949
↖ ↑ ↗
← N 75.890100°
W103.636780°		 ← 74.44 m → N 75.890100°
W103.634033°		 →
↑
74.48 m
↓
↑
74.48 m
↓
N 75.889430°
W103.636780°		 ← 74.45 m →
5 544 m²		 N 75.889430°
W103.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212123870849609 y=0.167461395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212123870849609 × 217)
    floor (0.212123870849609 × 131072)
    floor (27803.5)     		tx = 27803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167461395263672 × 217)
    floor (0.167461395263672 × 131072)
    floor (21949.5)     		ty = 21949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27803 / 21949 ti = "17/27803/21949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27803/21949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27803 ÷ 217
    27803 ÷ 131072     		x = 0.212120056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21949 ÷ 217
    21949 ÷ 131072     		y = 0.167457580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212120056152344 × 2 - 1) × π
    -0.575759887695312 × 3.1415926535     		Λ = -1.80880303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167457580566406 × 2 - 1) × π
    0.665084838867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.08942564373939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80880303} λ = -1.80880303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08942564373939))-π/2
    2×atan(8.08027287595523)-π/2
    2×1.44766421717156-π/2
    2.89532843434312-1.57079632675     		φ = 1.32453211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80880303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.636780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32453211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.890100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27803 KachelY 21949 -1.80880303 1.32453211 -103.636780 75.890100
    Oben rechts KachelX + 1 27804 KachelY 21949 -1.80875510 1.32453211 -103.634033 75.890100
    Unten links KachelX 27803 KachelY + 1 21950 -1.80880303 1.32452042 -103.636780 75.889430
    Unten rechts KachelX + 1 27804 KachelY + 1 21950 -1.80875510 1.32452042 -103.634033 75.889430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32453211-1.32452042) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dl = 74.476990000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32453211-1.32452042) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dr = 74.476990000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80880303--1.80875510) × cos(1.32453211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.243782594529378 × 6371000     		do = 74.4419479442034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80880303--1.80875510) × cos(1.32452042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.243793931824322 × 6371000     		du = 74.4454099236022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32453211)-sin(1.32452042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243782594529378-0.243793931824322)×R²
    abs(-1.80875510--1.80880303)×1.13372949439028e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13372949439028e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13372949439028e-05×40589641000000     		ar = 5544.34113142215m²