Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27803 / 21373
↖ ↑ ↗
← N 52.918839°
W 27.273559°		 ← 368.27 m → N 52.918839°
W 27.268066°		 →
↑
368.24 m
↓
↑
368.24 m
↓
N 52.915527°
W 27.273559°		 ← 368.30 m →
135 619 m²		 N 52.915527°
W 27.268066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424247741699219 y=0.326133728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424247741699219 × 216)
    floor (0.424247741699219 × 65536)
    floor (27803.5)     		tx = 27803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326133728027344 × 216)
    floor (0.326133728027344 × 65536)
    floor (21373.5)     		ty = 21373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27803 / 21373 ti = "16/27803/21373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27803/21373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27803 ÷ 216
    27803 ÷ 65536     		x = 0.424240112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21373 ÷ 216
    21373 ÷ 65536     		y = 0.326126098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424240112304688 × 2 - 1) × π
    -0.151519775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47601341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326126098632812 × 2 - 1) × π
    0.347747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09248194234108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47601341} λ = -0.47601341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09248194234108))-π/2
    2×atan(2.98166521772165)-π/2
    2×1.24720215555367-π/2
    2.49440431110734-1.57079632675     		φ = 0.92360798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47601341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.273559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92360798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.918839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27803 KachelY 21373 -0.47601341 0.92360798 -27.273559 52.918839
    Oben rechts KachelX + 1 27804 KachelY 21373 -0.47591754 0.92360798 -27.268066 52.918839
    Unten links KachelX 27803 KachelY + 1 21374 -0.47601341 0.92355018 -27.273559 52.915527
    Unten rechts KachelX + 1 27804 KachelY + 1 21374 -0.47591754 0.92355018 -27.268066 52.915527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92360798-0.92355018) × R
    5.77999999999967e-05 × 6371000     		dl = 368.243799999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92360798-0.92355018) × R
    5.77999999999967e-05 × 6371000     		dr = 368.243799999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47601341--0.47591754) × cos(0.92360798) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.602945705004602 × 6371000     		do = 368.271862591044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47601341--0.47591754) × cos(0.92355018) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.602991815809947 × 6371000     		du = 368.300026507013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92360798)-sin(0.92355018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602945705004602-0.602991815809947)×R²
    abs(-0.47591754--0.47601341)×4.6110805344779e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.6110805344779e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.6110805344779e-05×40589641000000     		ar = 135619.015745026m²