Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27802 / 7779
↖ ↑ ↗
← N 79.589372°
W 27.279053°		 ← 110.38 m → N 79.589372°
W 27.273559°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
N 79.588379°
W 27.279053°		 ← 110.39 m →
12 188 m²		 N 79.588379°
W 27.273559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424232482910156 y=0.118705749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424232482910156 × 216)
    floor (0.424232482910156 × 65536)
    floor (27802.5)     		tx = 27802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118705749511719 × 216)
    floor (0.118705749511719 × 65536)
    floor (7779.5)     		ty = 7779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27802 / 7779 ti = "16/27802/7779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27802/7779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27802 ÷ 216
    27802 ÷ 65536     		x = 0.424224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7779 ÷ 216
    7779 ÷ 65536     		y = 0.118698120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.15155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47610929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118698120117188 × 2 - 1) × π
    0.762603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39579036921117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47610929} λ = -0.47610929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39579036921117))-π/2
    2×atan(10.9768704118571)-π/2
    2×1.47994645660747-π/2
    2.95989291321494-1.57079632675     		φ = 1.38909659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47610929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.279053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38909659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.589372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27802 KachelY 7779 -0.47610929 1.38909659 -27.279053 79.589372
    Oben rechts KachelX + 1 27803 KachelY 7779 -0.47601341 1.38909659 -27.273559 79.589372
    Unten links KachelX 27802 KachelY + 1 7780 -0.47610929 1.38907926 -27.279053 79.588379
    Unten rechts KachelX + 1 27803 KachelY + 1 7780 -0.47601341 1.38907926 -27.273559 79.588379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38909659-1.38907926) × R
    1.73300000001486e-05 × 6371000     		dl = 110.409430000947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38909659-1.38907926) × R
    1.73300000001486e-05 × 6371000     		dr = 110.409430000947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47610929--0.47601341) × cos(1.38909659) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.180701589328082 × 6371000     		do = 110.381833279403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47610929--0.47601341) × cos(1.38907926) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.180718634013942 × 6371000     		du = 110.392245050986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38909659)-sin(1.38907926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180701589328082-0.180718634013942)×R²
    abs(-0.47601341--0.47610929)×1.70446858596129e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.70446858596129e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.70446858596129e-05×40589641000000     		ar = 12187.7700743559m²