Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27802 / 7778
↖ ↑ ↗
← N 79.590364°
W 27.279053°		 ← 110.37 m → N 79.590364°
W 27.273559°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
N 79.589372°
W 27.279053°		 ← 110.38 m →
12 180 m²		 N 79.589372°
W 27.273559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424232482910156 y=0.118690490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424232482910156 × 216)
    floor (0.424232482910156 × 65536)
    floor (27802.5)     		tx = 27802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118690490722656 × 216)
    floor (0.118690490722656 × 65536)
    floor (7778.5)     		ty = 7778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27802 / 7778 ti = "16/27802/7778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27802/7778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27802 ÷ 216
    27802 ÷ 65536     		x = 0.424224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7778 ÷ 216
    7778 ÷ 65536     		y = 0.118682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.15155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47610929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118682861328125 × 2 - 1) × π
    0.76263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39588624301041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47610929} λ = -0.47610929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39588624301041))-π/2
    2×atan(10.9779228565774)-π/2
    2×1.47995511847319-π/2
    2.95991023694639-1.57079632675     		φ = 1.38911391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47610929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.279053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38911391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.590364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27802 KachelY 7778 -0.47610929 1.38911391 -27.279053 79.590364
    Oben rechts KachelX + 1 27803 KachelY 7778 -0.47601341 1.38911391 -27.273559 79.590364
    Unten links KachelX 27802 KachelY + 1 7779 -0.47610929 1.38909659 -27.279053 79.589372
    Unten rechts KachelX + 1 27803 KachelY + 1 7779 -0.47601341 1.38909659 -27.273559 79.589372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38911391-1.38909659) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38911391-1.38909659) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47610929--0.47601341) × cos(1.38911391) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.180684554423364 × 6371000     		do = 110.371427482644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47610929--0.47601341) × cos(1.38909659) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.180701589328082 × 6371000     		du = 110.381833279403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38911391)-sin(1.38909659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180684554423364-0.180701589328082)×R²
    abs(-0.47601341--0.47610929)×1.70349047183826e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.70349047183826e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.70349047183826e-05×40589641000000     		ar = 12179.5887508024m²