Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27802 / 21950
↖ ↑ ↗
← N 75.889430°
W103.639526°		 ← 74.46 m → N 75.889430°
W103.636780°		 →
↑
74.48 m
↓
↑
74.48 m
↓
N 75.888760°
W103.639526°		 ← 74.46 m →
5 546 m²		 N 75.888760°
W103.636780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212116241455078 y=0.167469024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212116241455078 × 217)
    floor (0.212116241455078 × 131072)
    floor (27802.5)     		tx = 27802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167469024658203 × 217)
    floor (0.167469024658203 × 131072)
    floor (21950.5)     		ty = 21950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27802 / 21950 ti = "17/27802/21950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27802/21950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27802 ÷ 217
    27802 ÷ 131072     		x = 0.212112426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21950 ÷ 217
    21950 ÷ 131072     		y = 0.167465209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212112426757812 × 2 - 1) × π
    -0.575775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80885097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167465209960938 × 2 - 1) × π
    0.665069580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08937770683977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80885097} λ = -1.80885097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08937770683977))-π/2
    2×atan(8.07988554200934)-π/2
    2×1.44765837394479-π/2
    2.89531674788959-1.57079632675     		φ = 1.32452042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80885097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.639526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32452042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.889430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27802 KachelY 21950 -1.80885097 1.32452042 -103.639526 75.889430
    Oben rechts KachelX + 1 27803 KachelY 21950 -1.80880303 1.32452042 -103.636780 75.889430
    Unten links KachelX 27802 KachelY + 1 21951 -1.80885097 1.32450873 -103.639526 75.888760
    Unten rechts KachelX + 1 27803 KachelY + 1 21951 -1.80880303 1.32450873 -103.636780 75.888760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32452042-1.32450873) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dl = 74.476990000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32452042-1.32450873) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dr = 74.476990000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80885097--1.80880303) × cos(1.32452042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243793931824322 × 6371000     		do = 74.4609420349043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80885097--1.80880303) × cos(1.32450873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24380526908595 × 6371000     		du = 74.4644047264266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32452042)-sin(1.32450873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243793931824322-0.24380526908595)×R²
    abs(-1.80880303--1.80885097)×1.13372616279694e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13372616279694e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13372616279694e-05×40589641000000     		ar = 5545.75578081964m²