Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27802 / 19374
↖ ↑ ↗
← N 77.514812°
W103.639526°		 ← 66.03 m → N 77.514812°
W103.636780°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.514218°
W103.639526°		 ← 66.03 m →
4 358 m²		 N 77.514218°
W103.636780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212116241455078 y=0.147815704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212116241455078 × 217)
    floor (0.212116241455078 × 131072)
    floor (27802.5)     		tx = 27802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147815704345703 × 217)
    floor (0.147815704345703 × 131072)
    floor (19374.5)     		ty = 19374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27802 / 19374 ti = "17/27802/19374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27802/19374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27802 ÷ 217
    27802 ÷ 131072     		x = 0.212112426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19374 ÷ 217
    19374 ÷ 131072     		y = 0.147811889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212112426757812 × 2 - 1) × π
    -0.575775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80885097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147811889648438 × 2 - 1) × π
    0.704376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21286316026103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80885097} λ = -1.80885097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21286316026103))-π/2
    2×atan(9.14185354954627)-π/2
    2×1.46184250456813-π/2
    2.92368500913626-1.57079632675     		φ = 1.35288868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80885097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.639526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35288868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.514812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27802 KachelY 19374 -1.80885097 1.35288868 -103.639526 77.514812
    Oben rechts KachelX + 1 27803 KachelY 19374 -1.80880303 1.35288868 -103.636780 77.514812
    Unten links KachelX 27802 KachelY + 1 19375 -1.80885097 1.35287832 -103.639526 77.514218
    Unten rechts KachelX + 1 27803 KachelY + 1 19375 -1.80880303 1.35287832 -103.636780 77.514218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35288868-1.35287832) × R
    1.0359999999876e-05 × 6371000     		dl = 66.0035599992102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35288868-1.35287832) × R
    1.0359999999876e-05 × 6371000     		dr = 66.0035599992102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80885097--1.80880303) × cos(1.35288868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216187224716678 × 6371000     		do = 66.0291430875943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80885097--1.80880303) × cos(1.35287832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216197339711032 × 6371000     		du = 66.0322324672299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35288868)-sin(1.35287832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216187224716678-0.216197339711032)×R²
    abs(-1.80880303--1.80885097)×1.01149943538825e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01149943538825e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01149943538825e-05×40589641000000     		ar = 4358.26046252759m²