Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27801 / 8641
↖ ↑ ↗
← N 78.698030°
W 27.284546°		 ← 119.70 m → N 78.698030°
W 27.279053°		 →
↑
119.71 m
↓
↑
119.71 m
↓
N 78.696953°
W 27.284546°		 ← 119.71 m →
14 330 m²		 N 78.696953°
W 27.279053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424217224121094 y=0.131858825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424217224121094 × 216)
    floor (0.424217224121094 × 65536)
    floor (27801.5)     		tx = 27801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131858825683594 × 216)
    floor (0.131858825683594 × 65536)
    floor (8641.5)     		ty = 8641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27801 / 8641 ti = "16/27801/8641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27801/8641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27801 ÷ 216
    27801 ÷ 65536     		x = 0.424209594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8641 ÷ 216
    8641 ÷ 65536     		y = 0.131851196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424209594726562 × 2 - 1) × π
    -0.151580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47620516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131851196289062 × 2 - 1) × π
    0.736297607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31314715426619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47620516} λ = -0.47620516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31314715426619))-π/2
    2×atan(10.1061803673983)-π/2
    2×1.47216802755312-π/2
    2.94433605510625-1.57079632675     		φ = 1.37353973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47620516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.284546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37353973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.698030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27801 KachelY 8641 -0.47620516 1.37353973 -27.284546 78.698030
    Oben rechts KachelX + 1 27802 KachelY 8641 -0.47610929 1.37353973 -27.279053 78.698030
    Unten links KachelX 27801 KachelY + 1 8642 -0.47620516 1.37352094 -27.284546 78.696953
    Unten rechts KachelX + 1 27802 KachelY + 1 8642 -0.47610929 1.37352094 -27.279053 78.696953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37353973-1.37352094) × R
    1.87900000001573e-05 × 6371000     		dl = 119.711090001002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37353973-1.37352094) × R
    1.87900000001573e-05 × 6371000     		dr = 119.711090001002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47620516--0.47610929) × cos(1.37353973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195979868758697 × 6371000     		do = 119.702107004015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47620516--0.47610929) × cos(1.37352094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1959982943469 × 6371000     		du = 119.713361127944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37353973)-sin(1.37352094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195979868758697-0.1959982943469)×R²
    abs(-0.47610929--0.47620516)×1.84255882026141e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84255882026141e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84255882026141e-05×40589641000000     		ar = 14330.343327012m²