Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27801 / 22195
↖ ↑ ↗
← N 50.110011°
W 27.284546°		 ← 391.71 m → N 50.110011°
W 27.279053°		 →
↑
391.75 m
↓
↑
391.75 m
↓
N 50.106488°
W 27.284546°		 ← 391.74 m →
153 458 m²		 N 50.106488°
W 27.279053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424217224121094 y=0.338676452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424217224121094 × 216)
    floor (0.424217224121094 × 65536)
    floor (27801.5)     		tx = 27801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338676452636719 × 216)
    floor (0.338676452636719 × 65536)
    floor (22195.5)     		ty = 22195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27801 / 22195 ti = "16/27801/22195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27801/22195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27801 ÷ 216
    27801 ÷ 65536     		x = 0.424209594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22195 ÷ 216
    22195 ÷ 65536     		y = 0.338668823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424209594726562 × 2 - 1) × π
    -0.151580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47620516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338668823242188 × 2 - 1) × π
    0.322662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01367367936571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47620516} λ = -0.47620516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01367367936571))-π/2
    2×atan(2.75570602272671)-π/2
    2×1.22269050092864-π/2
    2.44538100185729-1.57079632675     		φ = 0.87458468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47620516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.284546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87458468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.110011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27801 KachelY 22195 -0.47620516 0.87458468 -27.284546 50.110011
    Oben rechts KachelX + 1 27802 KachelY 22195 -0.47610929 0.87458468 -27.279053 50.110011
    Unten links KachelX 27801 KachelY + 1 22196 -0.47620516 0.87452319 -27.284546 50.106488
    Unten rechts KachelX + 1 27802 KachelY + 1 22196 -0.47610929 0.87452319 -27.279053 50.106488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87458468-0.87452319) × R
    6.14899999999974e-05 × 6371000     		dl = 391.752789999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87458468-0.87452319) × R
    6.14899999999974e-05 × 6371000     		dr = 391.752789999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47620516--0.47610929) × cos(0.87458468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641315579038511 × 6371000     		do = 391.707712387182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47620516--0.47610929) × cos(0.87452319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641362757702155 × 6371000     		du = 391.736528537941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87458468)-sin(0.87452319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641315579038511-0.641362757702155)×R²
    abs(-0.47610929--0.47620516)×4.71786636443428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71786636443428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71786636443428e-05×40589641000000     		ar = 153458.233644671m²