Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27801 / 21945
↖ ↑ ↗
← N 75.892778°
W103.642273°		 ← 74.44 m → N 75.892778°
W103.639526°		 →
↑
74.48 m
↓
↑
74.48 m
↓
N 75.892108°
W103.642273°		 ← 74.45 m →
5 544 m²		 N 75.892108°
W103.639526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212108612060547 y=0.167430877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212108612060547 × 217)
    floor (0.212108612060547 × 131072)
    floor (27801.5)     		tx = 27801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167430877685547 × 217)
    floor (0.167430877685547 × 131072)
    floor (21945.5)     		ty = 21945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27801 / 21945 ti = "17/27801/21945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27801/21945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27801 ÷ 217
    27801 ÷ 131072     		x = 0.212104797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21945 ÷ 217
    21945 ÷ 131072     		y = 0.167427062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212104797363281 × 2 - 1) × π
    -0.575790405273438 × 3.1415926535     		Λ = -1.80889891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167427062988281 × 2 - 1) × π
    0.665145874023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.08961739133787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80889891} λ = -1.80889891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08961739133787))-π/2
    2×atan(8.08182239742802)-π/2
    2×1.44768758736225-π/2
    2.89537517472449-1.57079632675     		φ = 1.32457885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80889891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.642273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32457885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.892778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27801 KachelY 21945 -1.80889891 1.32457885 -103.642273 75.892778
    Oben rechts KachelX + 1 27802 KachelY 21945 -1.80885097 1.32457885 -103.639526 75.892778
    Unten links KachelX 27801 KachelY + 1 21946 -1.80889891 1.32456716 -103.642273 75.892108
    Unten rechts KachelX + 1 27802 KachelY + 1 21946 -1.80885097 1.32456716 -103.639526 75.892108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32457885-1.32456716) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dl = 74.476990000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32457885-1.32456716) × R
    1.16900000000086e-05 × 6371000     		dr = 74.476990000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80889891--1.80885097) × cos(1.32457885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2437372644133 × 6371000     		do = 74.4436343489591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80889891--1.80885097) × cos(1.32456716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243748601841436 × 6371000     		du = 74.447097091337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32457885)-sin(1.32456716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2437372644133-0.243748601841436)×R²
    abs(-1.80885097--1.80889891)×1.13374281351108e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13374281351108e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13374281351108e-05×40589641000000     		ar = 5544.46675828182m²