Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27800 / 22296
↖ ↑ ↗
← N 49.752880°
W 27.290039°		 ← 394.62 m → N 49.752880°
W 27.284546°		 →
↑
394.68 m
↓
↑
394.68 m
↓
N 49.749331°
W 27.290039°		 ← 394.65 m →
155 756 m²		 N 49.749331°
W 27.284546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424201965332031 y=0.340217590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424201965332031 × 216)
    floor (0.424201965332031 × 65536)
    floor (27800.5)     		tx = 27800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340217590332031 × 216)
    floor (0.340217590332031 × 65536)
    floor (22296.5)     		ty = 22296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27800 / 22296 ti = "16/27800/22296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27800/22296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27800 ÷ 216
    27800 ÷ 65536     		x = 0.4241943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22296 ÷ 216
    22296 ÷ 65536     		y = 0.3402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4241943359375 × 2 - 1) × π
    -0.151611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47630103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3402099609375 × 2 - 1) × π
    0.319580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00399042564246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47630103} λ = -0.47630103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00399042564246))-π/2
    2×atan(2.7291506010628)-π/2
    2×1.21957394698835-π/2
    2.4391478939767-1.57079632675     		φ = 0.86835157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47630103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.290039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86835157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.752880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27800 KachelY 22296 -0.47630103 0.86835157 -27.290039 49.752880
    Oben rechts KachelX + 1 27801 KachelY 22296 -0.47620516 0.86835157 -27.284546 49.752880
    Unten links KachelX 27800 KachelY + 1 22297 -0.47630103 0.86828962 -27.290039 49.749331
    Unten rechts KachelX + 1 27801 KachelY + 1 22297 -0.47620516 0.86828962 -27.284546 49.749331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86835157-0.86828962) × R
    6.19499999999773e-05 × 6371000     		dl = 394.683449999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86835157-0.86828962) × R
    6.19499999999773e-05 × 6371000     		dr = 394.683449999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47630103--0.47620516) × cos(0.86835157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64608561331874 × 6371000     		do = 394.621190988027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47630103--0.47620516) × cos(0.86828962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64613289634244 × 6371000     		du = 394.650070880632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86835157)-sin(0.86828962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64608561331874-0.64613289634244)×R²
    abs(-0.47620516--0.47630103)×4.7283023700273e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7283023700273e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7283023700273e-05×40589641000000     		ar = 155756.152359885m²