Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27799 / 21368
↖ ↑ ↗
← N 52.935397°
W 27.295532°		 ← 368.17 m → N 52.935397°
W 27.290039°		 →
↑
368.12 m
↓
↑
368.12 m
↓
N 52.932086°
W 27.295532°		 ← 368.20 m →
135 534 m²		 N 52.932086°
W 27.290039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424186706542969 y=0.326057434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424186706542969 × 216)
    floor (0.424186706542969 × 65536)
    floor (27799.5)     		tx = 27799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326057434082031 × 216)
    floor (0.326057434082031 × 65536)
    floor (21368.5)     		ty = 21368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27799 / 21368 ti = "16/27799/21368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27799/21368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27799 ÷ 216
    27799 ÷ 65536     		x = 0.424179077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21368 ÷ 216
    21368 ÷ 65536     		y = 0.3260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424179077148438 × 2 - 1) × π
    -0.151641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47639691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3260498046875 × 2 - 1) × π
    0.347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09296131133728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47639691} λ = -0.47639691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09296131133728))-π/2
    2×atan(2.98309487822416)-π/2
    2×1.24734664465912-π/2
    2.49469328931825-1.57079632675     		φ = 0.92389696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47639691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.295532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92389696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.935397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27799 KachelY 21368 -0.47639691 0.92389696 -27.295532 52.935397
    Oben rechts KachelX + 1 27800 KachelY 21368 -0.47630103 0.92389696 -27.290039 52.935397
    Unten links KachelX 27799 KachelY + 1 21369 -0.47639691 0.92383918 -27.295532 52.932086
    Unten rechts KachelX + 1 27800 KachelY + 1 21369 -0.47630103 0.92383918 -27.290039 52.932086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92389696-0.92383918) × R
    5.77800000000073e-05 × 6371000     		dl = 368.116380000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92389696-0.92383918) × R
    5.77800000000073e-05 × 6371000     		dr = 368.116380000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47639691--0.47630103) × cos(0.92389696) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602715136724911 × 6371000     		do = 368.169433286786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47639691--0.47630103) × cos(0.92383918) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602761241641312 × 6371000     		du = 368.197596543205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92389696)-sin(0.92383918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602715136724911-0.602761241641312)×R²
    abs(-0.47630103--0.47639691)×4.61049164011129e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61049164011129e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61049164011129e-05×40589641000000     		ar = 135534.38272379m²