Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27797 / 21636
↖ ↑ ↗
← N 52.038977°
W 27.306519°		 ← 375.75 m → N 52.038977°
W 27.301025°		 →
↑
375.76 m
↓
↑
375.76 m
↓
N 52.035597°
W 27.306519°		 ← 375.78 m →
141 198 m²		 N 52.035597°
W 27.301025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424156188964844 y=0.330146789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424156188964844 × 216)
    floor (0.424156188964844 × 65536)
    floor (27797.5)     		tx = 27797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330146789550781 × 216)
    floor (0.330146789550781 × 65536)
    floor (21636.5)     		ty = 21636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27797 / 21636 ti = "16/27797/21636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27797/21636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27797 ÷ 216
    27797 ÷ 65536     		x = 0.424148559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21636 ÷ 216
    21636 ÷ 65536     		y = 0.33013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424148559570312 × 2 - 1) × π
    -0.151702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47658866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33013916015625 × 2 - 1) × π
    0.3397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06726713314093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47658866} λ = -0.47658866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06726713314093))-π/2
    2×atan(2.90742303289445)-π/2
    2×1.23952390375952-π/2
    2.47904780751904-1.57079632675     		φ = 0.90825148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47658866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.306519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90825148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.038977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27797 KachelY 21636 -0.47658866 0.90825148 -27.306519 52.038977
    Oben rechts KachelX + 1 27798 KachelY 21636 -0.47649278 0.90825148 -27.301025 52.038977
    Unten links KachelX 27797 KachelY + 1 21637 -0.47658866 0.90819250 -27.306519 52.035597
    Unten rechts KachelX + 1 27798 KachelY + 1 21637 -0.47649278 0.90819250 -27.301025 52.035597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90825148-0.90819250) × R
    5.89800000000418e-05 × 6371000     		dl = 375.761580000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90825148-0.90819250) × R
    5.89800000000418e-05 × 6371000     		dr = 375.761580000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47658866--0.47649278) × cos(0.90825148) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615125273655304 × 6371000     		do = 375.750183797718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47658866--0.47649278) × cos(0.90819250) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615171774150601 × 6371000     		du = 375.778588694091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90825148)-sin(0.90819250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615125273655304-0.615171774150601)×R²
    abs(-0.47649278--0.47658866)×4.6500495297086e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6500495297086e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6500495297086e-05×40589641000000     		ar = 141197.819524691m²