Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27797 / 21635
↖ ↑ ↗
← N 52.042355°
W 27.306519°		 ← 375.72 m → N 52.042355°
W 27.301025°		 →
↑
375.70 m
↓
↑
375.70 m
↓
N 52.038977°
W 27.306519°		 ← 375.75 m →
141 163 m²		 N 52.038977°
W 27.301025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424156188964844 y=0.330131530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424156188964844 × 216)
    floor (0.424156188964844 × 65536)
    floor (27797.5)     		tx = 27797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330131530761719 × 216)
    floor (0.330131530761719 × 65536)
    floor (21635.5)     		ty = 21635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27797 / 21635 ti = "16/27797/21635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27797/21635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27797 ÷ 216
    27797 ÷ 65536     		x = 0.424148559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21635 ÷ 216
    21635 ÷ 65536     		y = 0.330123901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424148559570312 × 2 - 1) × π
    -0.151702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47658866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330123901367188 × 2 - 1) × π
    0.339752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06736300694017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47658866} λ = -0.47658866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06736300694017))-π/2
    2×atan(2.90770179194924)-π/2
    2×1.23955338984354-π/2
    2.47910677968707-1.57079632675     		φ = 0.90831045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47658866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.306519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90831045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.042355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27797 KachelY 21635 -0.47658866 0.90831045 -27.306519 52.042355
    Oben rechts KachelX + 1 27798 KachelY 21635 -0.47649278 0.90831045 -27.301025 52.042355
    Unten links KachelX 27797 KachelY + 1 21636 -0.47658866 0.90825148 -27.306519 52.038977
    Unten rechts KachelX + 1 27798 KachelY + 1 21636 -0.47649278 0.90825148 -27.301025 52.038977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90831045-0.90825148) × R
    5.89699999999915e-05 × 6371000     		dl = 375.697869999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90831045-0.90825148) × R
    5.89699999999915e-05 × 6371000     		dr = 375.697869999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47658866--0.47649278) × cos(0.90831045) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615078778904864 × 6371000     		do = 375.7217824106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47658866--0.47649278) × cos(0.90825148) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615125273655304 × 6371000     		du = 375.750183797718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90831045)-sin(0.90825148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615078778904864-0.615125273655304)×R²
    abs(-0.47649278--0.47658866)×4.64947504399404e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.64947504399404e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.64947504399404e-05×40589641000000     		ar = 141163.208575247m²