Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27795 / 22201
↖ ↑ ↗
← N 50.088869°
W 27.317505°		 ← 391.88 m → N 50.088869°
W 27.312012°		 →
↑
391.88 m
↓
↑
391.88 m
↓
N 50.085345°
W 27.317505°		 ← 391.91 m →
153 576 m²		 N 50.085345°
W 27.312012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424125671386719 y=0.338768005371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424125671386719 × 216)
    floor (0.424125671386719 × 65536)
    floor (27795.5)     		tx = 27795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338768005371094 × 216)
    floor (0.338768005371094 × 65536)
    floor (22201.5)     		ty = 22201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27795 / 22201 ti = "16/27795/22201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27795/22201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27795 ÷ 216
    27795 ÷ 65536     		x = 0.424118041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22201 ÷ 216
    22201 ÷ 65536     		y = 0.338760375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424118041992188 × 2 - 1) × π
    -0.151763916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47678040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338760375976562 × 2 - 1) × π
    0.322479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01309843657027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47678040} λ = -0.47678040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01309843657027))-π/2
    2×atan(2.75412127854082)-π/2
    2×1.22250600413577-π/2
    2.44501200827155-1.57079632675     		φ = 0.87421568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47678040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.317505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87421568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.088869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27795 KachelY 22201 -0.47678040 0.87421568 -27.317505 50.088869
    Oben rechts KachelX + 1 27796 KachelY 22201 -0.47668453 0.87421568 -27.312012 50.088869
    Unten links KachelX 27795 KachelY + 1 22202 -0.47678040 0.87415417 -27.317505 50.085345
    Unten rechts KachelX + 1 27796 KachelY + 1 22202 -0.47668453 0.87415417 -27.312012 50.085345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87421568-0.87415417) × R
    6.15100000000979e-05 × 6371000     		dl = 391.880210000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87421568-0.87415417) × R
    6.15100000000979e-05 × 6371000     		dr = 391.880210000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47678040--0.47668453) × cos(0.87421568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64159866066416 × 6371000     		do = 391.88061518204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47678040--0.47668453) × cos(0.87415417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64164584011275 × 6371000     		du = 391.909431812234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87421568)-sin(0.87415417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64159866066416-0.64164584011275)×R²
    abs(-0.47668453--0.47678040)×4.71794485901178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71794485901178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71794485901178e-05×40589641000000     		ar = 153575.904154707m²