Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27794 / 21710
↖ ↑ ↗
← N 76.049240°
W103.661499°		 ← 73.63 m → N 76.049240°
W103.658753°		 →
↑
73.65 m
↓
↑
73.65 m
↓
N 76.048578°
W103.661499°		 ← 73.64 m →
5 423 m²		 N 76.048578°
W103.658753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212055206298828 y=0.165637969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212055206298828 × 217)
    floor (0.212055206298828 × 131072)
    floor (27794.5)     		tx = 27794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165637969970703 × 217)
    floor (0.165637969970703 × 131072)
    floor (21710.5)     		ty = 21710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27794 / 21710 ti = "17/27794/21710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27794/21710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27794 ÷ 217
    27794 ÷ 131072     		x = 0.212051391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21710 ÷ 217
    21710 ÷ 131072     		y = 0.165634155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212051391601562 × 2 - 1) × π
    -0.575897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80923447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165634155273438 × 2 - 1) × π
    0.668731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10088256274858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80923447} λ = -1.80923447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10088256274858))-π/2
    2×atan(8.17338025125121)-π/2
    2×1.44905298433879-π/2
    2.89810596867758-1.57079632675     		φ = 1.32730964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80923447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.661499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32730964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.049240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27794 KachelY 21710 -1.80923447 1.32730964 -103.661499 76.049240
    Oben rechts KachelX + 1 27795 KachelY 21710 -1.80918653 1.32730964 -103.658753 76.049240
    Unten links KachelX 27794 KachelY + 1 21711 -1.80923447 1.32729808 -103.661499 76.048578
    Unten rechts KachelX + 1 27795 KachelY + 1 21711 -1.80918653 1.32729808 -103.658753 76.048578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32730964-1.32729808) × R
    1.15599999999105e-05 × 6371000     		dl = 73.64875999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32730964-1.32729808) × R
    1.15599999999105e-05 × 6371000     		dr = 73.64875999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80923447--1.80918653) × cos(1.32730964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241087925983178 × 6371000     		do = 73.6344581984291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80923447--1.80918653) × cos(1.32729808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241099144984959 × 6371000     		du = 73.63788477035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32730964)-sin(1.32729808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241087925983178-0.241099144984959)×R²
    abs(-1.80918653--1.80923447)×1.12190017806657e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12190017806657e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12190017806657e-05×40589641000000     		ar = 5423.21272100716m²