Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27793 / 22198
↖ ↑ ↗
← N 50.099441°
W 27.328491°		 ← 391.79 m → N 50.099441°
W 27.322998°		 →
↑
391.82 m
↓
↑
391.82 m
↓
N 50.095917°
W 27.328491°		 ← 391.82 m →
153 517 m²		 N 50.095917°
W 27.322998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424095153808594 y=0.338722229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424095153808594 × 216)
    floor (0.424095153808594 × 65536)
    floor (27793.5)     		tx = 27793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338722229003906 × 216)
    floor (0.338722229003906 × 65536)
    floor (22198.5)     		ty = 22198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27793 / 22198 ti = "16/27793/22198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27793/22198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27793 ÷ 216
    27793 ÷ 65536     		x = 0.424087524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22198 ÷ 216
    22198 ÷ 65536     		y = 0.338714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424087524414062 × 2 - 1) × π
    -0.151824951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47697215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338714599609375 × 2 - 1) × π
    0.32257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01338605796799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47697215} λ = -0.47697215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01338605796799))-π/2
    2×atan(2.75491353668218)-π/2
    2×1.22259826270957-π/2
    2.44519652541915-1.57079632675     		φ = 0.87440020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47697215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.328491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87440020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.099441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27793 KachelY 22198 -0.47697215 0.87440020 -27.328491 50.099441
    Oben rechts KachelX + 1 27794 KachelY 22198 -0.47687628 0.87440020 -27.322998 50.099441
    Unten links KachelX 27793 KachelY + 1 22199 -0.47697215 0.87433870 -27.328491 50.095917
    Unten rechts KachelX + 1 27794 KachelY + 1 22199 -0.47687628 0.87433870 -27.322998 50.095917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87440020-0.87433870) × R
    6.14999999999366e-05 × 6371000     		dl = 391.816499999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87440020-0.87433870) × R
    6.14999999999366e-05 × 6371000     		dr = 391.816499999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47697215--0.47687628) × cos(0.87440020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641457115425838 × 6371000     		do = 391.794161081572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47697215--0.47687628) × cos(0.87433870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641504294484731 × 6371000     		du = 391.822977473744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87440020)-sin(0.87433870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641457115425838-0.641504294484731)×R²
    abs(-0.47687628--0.47697215)×4.71790588927323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71790588927323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71790588927323e-05×40589641000000     		ar = 153517.062332488m²