Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27792 / 21708
↖ ↑ ↗
← N 76.050565°
W103.666992°		 ← 73.63 m → N 76.050565°
W103.664245°		 →
↑
73.59 m
↓
↑
73.59 m
↓
N 76.049903°
W103.666992°		 ← 73.63 m →
5 418 m²		 N 76.049903°
W103.664245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212039947509766 y=0.165622711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212039947509766 × 217)
    floor (0.212039947509766 × 131072)
    floor (27792.5)     		tx = 27792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165622711181641 × 217)
    floor (0.165622711181641 × 131072)
    floor (21708.5)     		ty = 21708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27792 / 21708 ti = "17/27792/21708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27792/21708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27792 ÷ 217
    27792 ÷ 131072     		x = 0.2120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21708 ÷ 217
    21708 ÷ 131072     		y = 0.165618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80933034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165618896484375 × 2 - 1) × π
    0.66876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10097843654782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80933034} λ = -1.80933034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10097843654782))-π/2
    2×atan(8.17416390183371)-π/2
    2×1.44906454080876-π/2
    2.89812908161752-1.57079632675     		φ = 1.32733275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80933034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32733275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.050565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27792 KachelY 21708 -1.80933034 1.32733275 -103.666992 76.050565
    Oben rechts KachelX + 1 27793 KachelY 21708 -1.80928240 1.32733275 -103.664245 76.050565
    Unten links KachelX 27792 KachelY + 1 21709 -1.80933034 1.32732120 -103.666992 76.049903
    Unten rechts KachelX + 1 27793 KachelY + 1 21709 -1.80928240 1.32732120 -103.664245 76.049903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32733275-1.32732120) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dl = 73.5850499998172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32733275-1.32732120) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dr = 73.5850499998172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80933034--1.80928240) × cos(1.32733275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241065497588054 × 6371000     		do = 73.6276079892513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80933034--1.80928240) × cos(1.32732120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24107670694918 × 6371000     		du = 73.631031616668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32733275)-sin(1.32732120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241065497588054-0.24107670694918)×R²
    abs(-1.80928240--1.80933034)×1.12093611256137e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12093611256137e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12093611256137e-05×40589641000000     		ar = 5418.01717925111m²