Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27791 / 21714
↖ ↑ ↗
← N 76.046592°
W103.669739°		 ← 73.65 m → N 76.046592°
W103.666992°		 →
↑
73.65 m
↓
↑
73.65 m
↓
N 76.045929°
W103.669739°		 ← 73.65 m →
5 424 m²		 N 76.045929°
W103.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212032318115234 y=0.165668487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212032318115234 × 217)
    floor (0.212032318115234 × 131072)
    floor (27791.5)     		tx = 27791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165668487548828 × 217)
    floor (0.165668487548828 × 131072)
    floor (21714.5)     		ty = 21714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27791 / 21714 ti = "17/27791/21714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27791/21714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27791 ÷ 217
    27791 ÷ 131072     		x = 0.212028503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21714 ÷ 217
    21714 ÷ 131072     		y = 0.165664672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212028503417969 × 2 - 1) × π
    -0.575942993164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.80937828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165664672851562 × 2 - 1) × π
    0.668670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1006908151501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80937828} λ = -1.80937828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1006908151501))-π/2
    2×atan(8.17181317546288)-π/2
    2×1.44902986817276-π/2
    2.89805973634553-1.57079632675     		φ = 1.32726341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80937828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.669739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32726341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.046592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27791 KachelY 21714 -1.80937828 1.32726341 -103.669739 76.046592
    Oben rechts KachelX + 1 27792 KachelY 21714 -1.80933034 1.32726341 -103.666992 76.046592
    Unten links KachelX 27791 KachelY + 1 21715 -1.80937828 1.32725185 -103.669739 76.045929
    Unten rechts KachelX + 1 27792 KachelY + 1 21715 -1.80933034 1.32725185 -103.666992 76.045929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32726341-1.32725185) × R
    1.15600000001326e-05 × 6371000     		dl = 73.6487600008446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32726341-1.32725185) × R
    1.15600000001326e-05 × 6371000     		dr = 73.6487600008446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80937828--1.80933034) × cos(1.32726341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24113279209206 × 6371000     		do = 73.6481614629352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80937828--1.80933034) × cos(1.32725185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241144010964984 × 6371000     		du = 73.6515879955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32726341)-sin(1.32725185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24113279209206-0.241144010964984)×R²
    abs(-1.80933034--1.80937828)×1.12188729239626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12188729239626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12188729239626e-05×40589641000000     		ar = 5424.22194817624m²