Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2779 / 1801
↖ ↑ ↗
← N 80.144924°
W118.937988°		 ← 418.17 m → N 80.144924°
W118.916016°		 →
↑
418.26 m
↓
↑
418.26 m
↓
N 80.141162°
W118.937988°		 ← 418.33 m →
174 936 m²		 N 80.141162°
W118.916016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169647216796875 y=0.109954833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169647216796875 × 214)
    floor (0.169647216796875 × 16384)
    floor (2779.5)     		tx = 2779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109954833984375 × 214)
    floor (0.109954833984375 × 16384)
    floor (1801.5)     		ty = 1801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2779 / 1801 ti = "14/2779/1801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2779/1801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2779 ÷ 214
    2779 ÷ 16384     		x = 0.16961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1801 ÷ 214
    1801 ÷ 16384     		y = 0.10992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16961669921875 × 2 - 1) × π
    -0.6607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.07585950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10992431640625 × 2 - 1) × π
    0.7801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45091780377423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07585950} λ = -2.07585950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45091780377423))-π/2
    2×atan(11.5989874298746)-π/2
    2×1.48479456541868-π/2
    2.96958913083736-1.57079632675     		φ = 1.39879280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07585950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.937988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39879280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.144924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2779 KachelY 1801 -2.07585950 1.39879280 -118.937988 80.144924
    Oben rechts KachelX + 1 2780 KachelY 1801 -2.07547601 1.39879280 -118.916016 80.144924
    Unten links KachelX 2779 KachelY + 1 1802 -2.07585950 1.39872715 -118.937988 80.141162
    Unten rechts KachelX + 1 2780 KachelY + 1 1802 -2.07547601 1.39872715 -118.916016 80.141162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39879280-1.39872715) × R
    6.56500000000282e-05 × 6371000     		dl = 418.25615000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39879280-1.39872715) × R
    6.56500000000282e-05 × 6371000     		dr = 418.25615000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07585950--2.07547601) × cos(1.39879280) × R
    0.000383489999999931 × 0.171156653676085 × 6371000     		do = 418.172467668242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07585950--2.07547601) × cos(1.39872715) × R
    0.000383489999999931 × 0.171221334564487 × 6371000     		du = 418.330496971417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39879280)-sin(1.39872715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171156653676085-0.171221334564487)×R²
    abs(-2.07547601--2.07585950)×6.46808884021688e-05×R²
    0.000383489999999931×6.46808884021688e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.46808884021688e-05×40589641000000     		ar = 174936.254790696m²