Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27785 / 21451
↖ ↑ ↗
← N 52.659726°
W 27.372436°		 ← 370.47 m → N 52.659726°
W 27.366943°		 →
↑
370.47 m
↓
↑
370.47 m
↓
N 52.656394°
W 27.372436°		 ← 370.50 m →
137 255 m²		 N 52.656394°
W 27.366943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423973083496094 y=0.327323913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423973083496094 × 216)
    floor (0.423973083496094 × 65536)
    floor (27785.5)     		tx = 27785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327323913574219 × 216)
    floor (0.327323913574219 × 65536)
    floor (21451.5)     		ty = 21451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27785 / 21451 ti = "16/27785/21451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27785/21451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27785 ÷ 216
    27785 ÷ 65536     		x = 0.423965454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21451 ÷ 216
    21451 ÷ 65536     		y = 0.327316284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423965454101562 × 2 - 1) × π
    -0.152069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47773914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327316284179688 × 2 - 1) × π
    0.345367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08500378600035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47773914} λ = -0.47773914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08500378600035))-π/2
    2×atan(2.95945102320089)-π/2
    2×1.24494096375551-π/2
    2.48988192751103-1.57079632675     		φ = 0.91908560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47773914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.372436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91908560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.659726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27785 KachelY 21451 -0.47773914 0.91908560 -27.372436 52.659726
    Oben rechts KachelX + 1 27786 KachelY 21451 -0.47764327 0.91908560 -27.366943 52.659726
    Unten links KachelX 27785 KachelY + 1 21452 -0.47773914 0.91902745 -27.372436 52.656394
    Unten rechts KachelX + 1 27786 KachelY + 1 21452 -0.47764327 0.91902745 -27.366943 52.656394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91908560-0.91902745) × R
    5.81499999999791e-05 × 6371000     		dl = 370.473649999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91908560-0.91902745) × R
    5.81499999999791e-05 × 6371000     		dr = 370.473649999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47773914--0.47764327) × cos(0.91908560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606547401392058 × 6371000     		do = 370.471734695542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47773914--0.47764327) × cos(0.91902745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606593632368516 × 6371000     		du = 370.499972010557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91908560)-sin(0.91902745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606547401392058-0.606593632368516)×R²
    abs(-0.47764327--0.47773914)×4.62309764581725e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62309764581725e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62309764581725e-05×40589641000000     		ar = 137255.246403747m²