Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27784 / 21452
↖ ↑ ↗
← N 52.656394°
W 27.377930°		 ← 370.54 m → N 52.656394°
W 27.372436°		 →
↑
370.54 m
↓
↑
370.54 m
↓
N 52.653062°
W 27.377930°		 ← 370.57 m →
137 304 m²		 N 52.653062°
W 27.372436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423957824707031 y=0.327339172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423957824707031 × 216)
    floor (0.423957824707031 × 65536)
    floor (27784.5)     		tx = 27784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327339172363281 × 216)
    floor (0.327339172363281 × 65536)
    floor (21452.5)     		ty = 21452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27784 / 21452 ti = "16/27784/21452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27784/21452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27784 ÷ 216
    27784 ÷ 65536     		x = 0.4239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21452 ÷ 216
    21452 ÷ 65536     		y = 0.32733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47783502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32733154296875 × 2 - 1) × π
    0.3453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08490791220111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47783502} λ = -0.47783502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08490791220111))-π/2
    2×atan(2.95916730298852)-π/2
    2×1.24491188664549-π/2
    2.48982377329097-1.57079632675     		φ = 0.91902745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47783502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91902745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.656394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27784 KachelY 21452 -0.47783502 0.91902745 -27.377930 52.656394
    Oben rechts KachelX + 1 27785 KachelY 21452 -0.47773914 0.91902745 -27.372436 52.656394
    Unten links KachelX 27784 KachelY + 1 21453 -0.47783502 0.91896929 -27.377930 52.653062
    Unten rechts KachelX + 1 27785 KachelY + 1 21453 -0.47773914 0.91896929 -27.372436 52.653062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91902745-0.91896929) × R
    5.81599999999183e-05 × 6371000     		dl = 370.537359999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91902745-0.91896929) × R
    5.81599999999183e-05 × 6371000     		dr = 370.537359999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47783502--0.47773914) × cos(0.91902745) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606593632368516 × 6371000     		do = 370.538618090855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47783502--0.47773914) × cos(0.91896929) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606639869243592 × 6371000     		du = 370.566861954426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91902745)-sin(0.91896929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606593632368516-0.606639869243592)×R²
    abs(-0.47773914--0.47783502)×4.6236875076433e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6236875076433e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6236875076433e-05×40589641000000     		ar = 137303.634067124m²