Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27783 / 7759
↖ ↑ ↗
← N 79.609205°
W 27.383423°		 ← 110.16 m → N 79.609205°
W 27.377930°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
N 79.608215°
W 27.383423°		 ← 110.17 m →
12 135 m²		 N 79.608215°
W 27.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423942565917969 y=0.118400573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423942565917969 × 216)
    floor (0.423942565917969 × 65536)
    floor (27783.5)     		tx = 27783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118400573730469 × 216)
    floor (0.118400573730469 × 65536)
    floor (7759.5)     		ty = 7759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27783 / 7759 ti = "16/27783/7759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27783/7759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27783 ÷ 216
    27783 ÷ 65536     		x = 0.423934936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7759 ÷ 216
    7759 ÷ 65536     		y = 0.118392944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423934936523438 × 2 - 1) × π
    -0.152130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47793089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118392944335938 × 2 - 1) × π
    0.763214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39770784519597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47793089} λ = -0.47793089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39770784519597))-π/2
    2×atan(10.9979384895716)-π/2
    2×1.48011953882628-π/2
    2.96023907765256-1.57079632675     		φ = 1.38944275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47793089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.383423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38944275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.609205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27783 KachelY 7759 -0.47793089 1.38944275 -27.383423 79.609205
    Oben rechts KachelX + 1 27784 KachelY 7759 -0.47783502 1.38944275 -27.377930 79.609205
    Unten links KachelX 27783 KachelY + 1 7760 -0.47793089 1.38942546 -27.383423 79.608215
    Unten rechts KachelX + 1 27784 KachelY + 1 7760 -0.47783502 1.38942546 -27.377930 79.608215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38944275-1.38942546) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38944275-1.38942546) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47793089--0.47783502) × cos(1.38944275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180361117005241 × 6371000     		do = 110.162364450338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47793089--0.47783502) × cos(1.38942546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180378123430257 × 6371000     		du = 110.172751766749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38944275)-sin(1.38942546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180361117005241-0.180378123430257)×R²
    abs(-0.47783502--0.47793089)×1.7006425016064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7006425016064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7006425016064e-05×40589641000000     		ar = 12135.46219509m²