Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27782 / 7758
↖ ↑ ↗
← N 79.610196°
W 27.388916°		 ← 110.15 m → N 79.610196°
W 27.383423°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
N 79.609205°
W 27.388916°		 ← 110.16 m →
12 134 m²		 N 79.609205°
W 27.383423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423927307128906 y=0.118385314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423927307128906 × 216)
    floor (0.423927307128906 × 65536)
    floor (27782.5)     		tx = 27782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118385314941406 × 216)
    floor (0.118385314941406 × 65536)
    floor (7758.5)     		ty = 7758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27782 / 7758 ti = "16/27782/7758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27782/7758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27782 ÷ 216
    27782 ÷ 65536     		x = 0.423919677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7758 ÷ 216
    7758 ÷ 65536     		y = 0.118377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423919677734375 × 2 - 1) × π
    -0.15216064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47802676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118377685546875 × 2 - 1) × π
    0.76324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39780371899521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47802676} λ = -0.47802676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39780371899521))-π/2
    2×atan(10.9989929542654)-π/2
    2×1.48012818437135-π/2
    2.9602563687427-1.57079632675     		φ = 1.38946004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47802676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.388916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38946004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.610196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27782 KachelY 7758 -0.47802676 1.38946004 -27.388916 79.610196
    Oben rechts KachelX + 1 27783 KachelY 7758 -0.47793089 1.38946004 -27.383423 79.610196
    Unten links KachelX 27782 KachelY + 1 7759 -0.47802676 1.38944275 -27.388916 79.609205
    Unten rechts KachelX + 1 27783 KachelY + 1 7759 -0.47793089 1.38944275 -27.383423 79.609205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38946004-1.38944275) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38946004-1.38944275) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47802676--0.47793089) × cos(1.38946004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180344110526307 × 6371000     		do = 110.151977100994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47802676--0.47793089) × cos(1.38944275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180361117005241 × 6371000     		du = 110.162364450338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38946004)-sin(1.38944275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180344110526307-0.180361117005241)×R²
    abs(-0.47793089--0.47802676)×1.70064789339341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70064789339341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70064789339341e-05×40589641000000     		ar = 12134.3179822084m²