Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27780 / 22116
↖ ↑ ↗
← N 50.387508°
W 27.399902°		 ← 389.43 m → N 50.387508°
W 27.394409°		 →
↑
389.46 m
↓
↑
389.46 m
↓
N 50.384005°
W 27.399902°		 ← 389.46 m →
151 674 m²		 N 50.384005°
W 27.394409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423896789550781 y=0.337471008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423896789550781 × 216)
    floor (0.423896789550781 × 65536)
    floor (27780.5)     		tx = 27780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337471008300781 × 216)
    floor (0.337471008300781 × 65536)
    floor (22116.5)     		ty = 22116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27780 / 22116 ti = "16/27780/22116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27780/22116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27780 ÷ 216
    27780 ÷ 65536     		x = 0.42388916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22116 ÷ 216
    22116 ÷ 65536     		y = 0.33746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42388916015625 × 2 - 1) × π
    -0.1522216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47821851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33746337890625 × 2 - 1) × π
    0.3250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02124770950568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47821851} λ = -0.47821851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02124770950568))-π/2
    2×atan(2.77665706495615)-π/2
    2×1.22511211990651-π/2
    2.45022423981302-1.57079632675     		φ = 0.87942791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47821851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87942791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.387508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27780 KachelY 22116 -0.47821851 0.87942791 -27.399902 50.387508
    Oben rechts KachelX + 1 27781 KachelY 22116 -0.47812264 0.87942791 -27.394409 50.387508
    Unten links KachelX 27780 KachelY + 1 22117 -0.47821851 0.87936678 -27.399902 50.384005
    Unten rechts KachelX + 1 27781 KachelY + 1 22117 -0.47812264 0.87936678 -27.394409 50.384005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87942791-0.87936678) × R
    6.11299999999648e-05 × 6371000     		dl = 389.459229999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87942791-0.87936678) × R
    6.11299999999648e-05 × 6371000     		dr = 389.459229999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47821851--0.47812264) × cos(0.87942791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637591971914127 × 6371000     		do = 389.433378695324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47821851--0.47812264) × cos(0.87936678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637639063700393 × 6371000     		du = 389.462141782443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87942791)-sin(0.87936678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637591971914127-0.637639063700393)×R²
    abs(-0.47812264--0.47821851)×4.70917862657183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70917862657183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70917862657183e-05×40589641000000     		ar = 151674.02487483m²