Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2778 / 5974
↖ ↑ ↗
← S 63.352129°
W 57.919922°		 ← 2 191.62 m → S 63.352129°
W 57.875977°		 →
↑
2 190.92 m
↓
↑
2 190.92 m
↓
S 63.371832°
W 57.919922°		 ← 2 190.12 m →
4 800 029 m²		 S 63.371832°
W 57.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33917236328125 y=0.72930908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33917236328125 × 213)
    floor (0.33917236328125 × 8192)
    floor (2778.5)     		tx = 2778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72930908203125 × 213)
    floor (0.72930908203125 × 8192)
    floor (5974.5)     		ty = 5974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2778 / 5974 ti = "13/2778/5974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2778/5974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2778 ÷ 213
    2778 ÷ 8192     		x = 0.339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5974 ÷ 213
    5974 ÷ 8192     		y = 0.729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.32177734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01089334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.45849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44040795978345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01089334} λ = -1.01089334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44040795978345))-π/2
    2×atan(0.2368311213984)-π/2
    2×0.232546541319808-π/2
    0.465093082639616-1.57079632675     		φ = -1.10570324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01089334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10570324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.352129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2778 KachelY 5974 -1.01089334 -1.10570324 -57.919922 -63.352129
    Oben rechts KachelX + 1 2779 KachelY 5974 -1.01012635 -1.10570324 -57.875977 -63.352129
    Unten links KachelX 2778 KachelY + 1 5975 -1.01089334 -1.10604713 -57.919922 -63.371832
    Unten rechts KachelX + 1 2779 KachelY + 1 5975 -1.01012635 -1.10604713 -57.875977 -63.371832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10570324--1.10604713) × R
    0.000343890000000124 × 6371000     		dl = 2190.92319000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10570324--1.10604713) × R
    0.000343890000000124 × 6371000     		dr = 2190.92319000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01089334--1.01012635) × cos(-1.10570324) × R
    0.000766990000000023 × 0.44850600248744 × 6371000     		do = 2191.62157167967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01089334--1.01012635) × cos(-1.10604713) × R
    0.000766990000000023 × 0.448198614031139 × 6371000     		du = 2190.11952005052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10570324)-sin(-1.10604713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44850600248744-0.448198614031139)×R²
    abs(-1.01012635--1.01089334)×0.000307388456301572×R²
    0.000766990000000023×0.000307388456301572×6371000²
    0.000766990000000023×0.000307388456301572×40589641000000     		ar = 4800029.13253151m²