Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27774 / 21462
↖ ↑ ↗
← N 52.623060°
W 27.432861°		 ← 370.78 m → N 52.623060°
W 27.427368°		 →
↑
370.79 m
↓
↑
370.79 m
↓
N 52.619725°
W 27.432861°		 ← 370.81 m →
137 488 m²		 N 52.619725°
W 27.427368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423805236816406 y=0.327491760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423805236816406 × 216)
    floor (0.423805236816406 × 65536)
    floor (27774.5)     		tx = 27774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327491760253906 × 216)
    floor (0.327491760253906 × 65536)
    floor (21462.5)     		ty = 21462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27774 / 21462 ti = "16/27774/21462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27774/21462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27774 ÷ 216
    27774 ÷ 65536     		x = 0.423797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21462 ÷ 216
    21462 ÷ 65536     		y = 0.327484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.15240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47879375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327484130859375 × 2 - 1) × π
    0.34503173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08394917420871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47879375} λ = -0.47879375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08394917420871))-π/2
    2×atan(2.95633159643629)-π/2
    2×1.24462099363346-π/2
    2.48924198726691-1.57079632675     		φ = 0.91844566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47879375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.432861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91844566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.623060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27774 KachelY 21462 -0.47879375 0.91844566 -27.432861 52.623060
    Oben rechts KachelX + 1 27775 KachelY 21462 -0.47869788 0.91844566 -27.427368 52.623060
    Unten links KachelX 27774 KachelY + 1 21463 -0.47879375 0.91838746 -27.432861 52.619725
    Unten rechts KachelX + 1 27775 KachelY + 1 21463 -0.47869788 0.91838746 -27.427368 52.619725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91844566-0.91838746) × R
    5.82000000000082e-05 × 6371000     		dl = 370.792200000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91844566-0.91838746) × R
    5.82000000000082e-05 × 6371000     		dr = 370.792200000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47879375--0.47869788) × cos(0.91844566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60705605974523 × 6371000     		do = 370.782416996768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47879375--0.47869788) × cos(0.91838746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607102307871396 × 6371000     		du = 370.810664786616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91844566)-sin(0.91838746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60705605974523-0.607102307871396)×R²
    abs(-0.47869788--0.47879375)×4.62481261660486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62481261660486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62481261660486e-05×40589641000000     		ar = 137488.465188295m²