Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27772 / 21461
↖ ↑ ↗
← N 52.626395°
W 27.443848°		 ← 370.75 m → N 52.626395°
W 27.438355°		 →
↑
370.79 m
↓
↑
370.79 m
↓
N 52.623060°
W 27.443848°		 ← 370.78 m →
137 478 m²		 N 52.623060°
W 27.438355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423774719238281 y=0.327476501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423774719238281 × 216)
    floor (0.423774719238281 × 65536)
    floor (27772.5)     		tx = 27772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327476501464844 × 216)
    floor (0.327476501464844 × 65536)
    floor (21461.5)     		ty = 21461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27772 / 21461 ti = "16/27772/21461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27772/21461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27772 ÷ 216
    27772 ÷ 65536     		x = 0.42376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21461 ÷ 216
    21461 ÷ 65536     		y = 0.327468872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.1524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47898550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327468872070312 × 2 - 1) × π
    0.345062255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08404504800795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47898550} λ = -0.47898550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08404504800795))-π/2
    2×atan(2.95661504476567)-π/2
    2×1.24465009291032-π/2
    2.48930018582063-1.57079632675     		φ = 0.91850386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47898550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.443848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91850386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.626395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27772 KachelY 21461 -0.47898550 0.91850386 -27.443848 52.626395
    Oben rechts KachelX + 1 27773 KachelY 21461 -0.47888963 0.91850386 -27.438355 52.626395
    Unten links KachelX 27772 KachelY + 1 21462 -0.47898550 0.91844566 -27.443848 52.623060
    Unten rechts KachelX + 1 27773 KachelY + 1 21462 -0.47888963 0.91844566 -27.438355 52.623060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91850386-0.91844566) × R
    5.81999999998972e-05 × 6371000     		dl = 370.792199999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91850386-0.91844566) × R
    5.81999999998972e-05 × 6371000     		dr = 370.792199999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47898550--0.47888963) × cos(0.91850386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60700980956282 × 6371000     		do = 370.754167950991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47898550--0.47888963) × cos(0.91844566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60705605974523 × 6371000     		du = 370.782416996768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91850386)-sin(0.91844566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60700980956282-0.60705605974523)×R²
    abs(-0.47888963--0.47898550)×4.62501824103345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62501824103345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62501824103345e-05×40589641000000     		ar = 137477.990895419m²