Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27771 / 7764
↖ ↑ ↗
← N 79.604251°
W 27.449341°		 ← 110.21 m → N 79.604251°
W 27.443848°		 →
↑
110.22 m
↓
↑
110.22 m
↓
N 79.603259°
W 27.449341°		 ← 110.22 m →
12 148 m²		 N 79.603259°
W 27.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423759460449219 y=0.118476867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423759460449219 × 216)
    floor (0.423759460449219 × 65536)
    floor (27771.5)     		tx = 27771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118476867675781 × 216)
    floor (0.118476867675781 × 65536)
    floor (7764.5)     		ty = 7764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27771 / 7764 ti = "16/27771/7764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27771/7764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27771 ÷ 216
    27771 ÷ 65536     		x = 0.423751831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7764 ÷ 216
    7764 ÷ 65536     		y = 0.11846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423751831054688 × 2 - 1) × π
    -0.152496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47908137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11846923828125 × 2 - 1) × π
    0.7630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39722847619977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47908137} λ = -0.47908137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39722847619977))-π/2
    2×atan(10.9926676822693)-π/2
    2×1.48007629886955-π/2
    2.96015259773909-1.57079632675     		φ = 1.38935627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47908137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.449341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38935627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.604251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27771 KachelY 7764 -0.47908137 1.38935627 -27.449341 79.604251
    Oben rechts KachelX + 1 27772 KachelY 7764 -0.47898550 1.38935627 -27.443848 79.604251
    Unten links KachelX 27771 KachelY + 1 7765 -0.47908137 1.38933897 -27.449341 79.603259
    Unten rechts KachelX + 1 27772 KachelY + 1 7765 -0.47898550 1.38933897 -27.443848 79.603259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38935627-1.38933897) × R
    1.72999999998869e-05 × 6371000     		dl = 110.218299999279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38935627-1.38933897) × R
    1.72999999998869e-05 × 6371000     		dr = 110.218299999279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47908137--0.47898550) × cos(1.38935627) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180446178098587 × 6371000     		do = 110.214318725856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47908137--0.47898550) × cos(1.38933897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180463194089661 × 6371000     		du = 110.224711885099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38935627)-sin(1.38933897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180446178098587-0.180463194089661)×R²
    abs(-0.47898550--0.47908137)×1.7015991074093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7015991074093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7015991074093e-05×40589641000000     		ar = 12148.2076042447m²