Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27770 / 22265
↖ ↑ ↗
← N 49.862776°
W 27.454834°		 ← 393.77 m → N 49.862776°
W 27.449341°		 →
↑
393.73 m
↓
↑
393.73 m
↓
N 49.859235°
W 27.454834°		 ← 393.80 m →
155 043 m²		 N 49.859235°
W 27.449341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423744201660156 y=0.339744567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423744201660156 × 216)
    floor (0.423744201660156 × 65536)
    floor (27770.5)     		tx = 27770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339744567871094 × 216)
    floor (0.339744567871094 × 65536)
    floor (22265.5)     		ty = 22265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27770 / 22265 ti = "16/27770/22265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27770/22265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27770 ÷ 216
    27770 ÷ 65536     		x = 0.423736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22265 ÷ 216
    22265 ÷ 65536     		y = 0.339736938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.15252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47917725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339736938476562 × 2 - 1) × π
    0.320526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0069625134189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47917725} λ = -0.47917725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0069625134189))-π/2
    2×atan(2.73727394186558)-π/2
    2×1.22053296980116-π/2
    2.44106593960233-1.57079632675     		φ = 0.87026961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47917725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87026961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.862776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27770 KachelY 22265 -0.47917725 0.87026961 -27.454834 49.862776
    Oben rechts KachelX + 1 27771 KachelY 22265 -0.47908137 0.87026961 -27.449341 49.862776
    Unten links KachelX 27770 KachelY + 1 22266 -0.47917725 0.87020781 -27.454834 49.859235
    Unten rechts KachelX + 1 27771 KachelY + 1 22266 -0.47908137 0.87020781 -27.449341 49.859235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87026961-0.87020781) × R
    6.18000000000007e-05 × 6371000     		dl = 393.727800000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87026961-0.87020781) × R
    6.18000000000007e-05 × 6371000     		dr = 393.727800000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47917725--0.47908137) × cos(0.87026961) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64462045308171 × 6371000     		do = 393.767357803203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47917725--0.47908137) × cos(0.87020781) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644667698121325 × 6371000     		du = 393.796217505575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87026961)-sin(0.87020781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64462045308171-0.644667698121325)×R²
    abs(-0.47908137--0.47917725)×4.72450396152846e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72450396152846e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72450396152846e-05×40589641000000     		ar = 155042.836982456m²