Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27769 / 7768
↖ ↑ ↗
← N 79.600285°
W 27.460327°		 ← 110.26 m → N 79.600285°
W 27.454834°		 →
↑
110.28 m
↓
↑
110.28 m
↓
N 79.599293°
W 27.460327°		 ← 110.27 m →
12 160 m²		 N 79.599293°
W 27.454834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423728942871094 y=0.118537902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423728942871094 × 216)
    floor (0.423728942871094 × 65536)
    floor (27769.5)     		tx = 27769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118537902832031 × 216)
    floor (0.118537902832031 × 65536)
    floor (7768.5)     		ty = 7768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27769 / 7768 ti = "16/27769/7768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27769/7768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27769 ÷ 216
    27769 ÷ 65536     		x = 0.423721313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7768 ÷ 216
    7768 ÷ 65536     		y = 0.1185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423721313476562 × 2 - 1) × π
    -0.152557373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47927312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1185302734375 × 2 - 1) × π
    0.762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47927312} λ = -0.47927312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39684498100281))-π/2
    2×atan(10.988452855246)-π/2
    2×1.48004169222204-π/2
    2.96008338444409-1.57079632675     		φ = 1.38928706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47927312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.460327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38928706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.600285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27769 KachelY 7768 -0.47927312 1.38928706 -27.460327 79.600285
    Oben rechts KachelX + 1 27770 KachelY 7768 -0.47917725 1.38928706 -27.454834 79.600285
    Unten links KachelX 27769 KachelY + 1 7769 -0.47927312 1.38926975 -27.460327 79.599293
    Unten rechts KachelX + 1 27770 KachelY + 1 7769 -0.47917725 1.38926975 -27.454834 79.599293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38928706-1.38926975) × R
    1.73100000000481e-05 × 6371000     		dl = 110.282010000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38928706-1.38926975) × R
    1.73100000000481e-05 × 6371000     		dr = 110.282010000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47927312--0.47917725) × cos(1.38928706) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180514251574522 × 6371000     		do = 110.255897172419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47927312--0.47917725) × cos(1.38926975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180531277185183 × 6371000     		du = 110.266296207188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38928706)-sin(1.38926975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180514251574522-0.180531277185183)×R²
    abs(-0.47917725--0.47927312)×1.70256106615807e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70256106615807e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70256106615807e-05×40589641000000     		ar = 12159.8153681509m²