Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27768 / 22266
↖ ↑ ↗
← N 49.859235°
W 27.465821°		 ← 393.80 m → N 49.859235°
W 27.460327°		 →
↑
393.79 m
↓
↑
393.79 m
↓
N 49.855693°
W 27.465821°		 ← 393.83 m →
155 079 m²		 N 49.855693°
W 27.460327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423713684082031 y=0.339759826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423713684082031 × 216)
    floor (0.423713684082031 × 65536)
    floor (27768.5)     		tx = 27768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339759826660156 × 216)
    floor (0.339759826660156 × 65536)
    floor (22266.5)     		ty = 22266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27768 / 22266 ti = "16/27768/22266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27768/22266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27768 ÷ 216
    27768 ÷ 65536     		x = 0.4237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22266 ÷ 216
    22266 ÷ 65536     		y = 0.339752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.152587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47936900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339752197265625 × 2 - 1) × π
    0.32049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00686663961966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47936900} λ = -0.47936900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00686663961966))-π/2
    2×atan(2.73701152159303)-π/2
    2×1.22050206756285-π/2
    2.44100413512569-1.57079632675     		φ = 0.87020781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47936900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.465821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87020781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.859235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27768 KachelY 22266 -0.47936900 0.87020781 -27.465821 49.859235
    Oben rechts KachelX + 1 27769 KachelY 22266 -0.47927312 0.87020781 -27.460327 49.859235
    Unten links KachelX 27768 KachelY + 1 22267 -0.47936900 0.87014600 -27.465821 49.855693
    Unten rechts KachelX + 1 27769 KachelY + 1 22267 -0.47927312 0.87014600 -27.460327 49.855693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87020781-0.87014600) × R
    6.1810000000051e-05 × 6371000     		dl = 393.791510000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87020781-0.87014600) × R
    6.1810000000051e-05 × 6371000     		dr = 393.791510000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47936900--0.47927312) × cos(0.87020781) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644667698121325 × 6371000     		do = 393.796217505575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47936900--0.47927312) × cos(0.87014600) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644714948343031 × 6371000     		du = 393.825080373433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87020781)-sin(0.87014600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644667698121325-0.644714948343031)×R²
    abs(-0.47927312--0.47936900)×4.7250221705375e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7250221705375e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7250221705375e-05×40589641000000     		ar = 155079.290149469m²