Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27766 / 7324
↖ ↑ ↗
← N 80.031459°
W 27.476806°		 ← 105.73 m → N 80.031459°
W 27.471313°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
N 80.030508°
W 27.476806°		 ← 105.74 m →
11 183 m²		 N 80.030508°
W 27.471313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423683166503906 y=0.111763000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423683166503906 × 216)
    floor (0.423683166503906 × 65536)
    floor (27766.5)     		tx = 27766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111763000488281 × 216)
    floor (0.111763000488281 × 65536)
    floor (7324.5)     		ty = 7324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27766 / 7324 ti = "16/27766/7324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27766/7324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27766 ÷ 216
    27766 ÷ 65536     		x = 0.423675537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7324 ÷ 216
    7324 ÷ 65536     		y = 0.11175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.15264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47956074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11175537109375 × 2 - 1) × π
    0.7764892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43941294786542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47956074} λ = -0.47956074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43941294786542))-π/2
    2×atan(11.466307446328)-π/2
    2×1.4838043985514-π/2
    2.9676087971028-1.57079632675     		φ = 1.39681247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47956074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.476806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39681247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.031459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27766 KachelY 7324 -0.47956074 1.39681247 -27.476806 80.031459
    Oben rechts KachelX + 1 27767 KachelY 7324 -0.47946487 1.39681247 -27.471313 80.031459
    Unten links KachelX 27766 KachelY + 1 7325 -0.47956074 1.39679587 -27.476806 80.030508
    Unten rechts KachelX + 1 27767 KachelY + 1 7325 -0.47946487 1.39679587 -27.471313 80.030508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39681247-1.39679587) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dl = 105.758599999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39681247-1.39679587) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dr = 105.758599999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47956074--0.47946487) × cos(1.39681247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17310742469699 × 6371000     		do = 105.731897901115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47956074--0.47946487) × cos(1.39679587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173123774062097 × 6371000     		du = 105.74188389337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39681247)-sin(1.39679587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17310742469699-0.173123774062097)×R²
    abs(-0.47946487--0.47956074)×1.63493651066104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63493651066104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63493651066104e-05×40589641000000     		ar = 11182.585549612m²